Каковы различия между «априорной» и «апостериорной» оценкой ошибок в численном анализе?

16

Я узнал о методе конечных элементов (также немного о других численных методах), но я не знаю, каково именно определение этих двух ошибок и различий между ними?

Ань Ти ДИНХ
источник
5
Априорные (от латинского «от более ранних») оценки зависят только от точного, но не вычисленного приближенного решения, и, следовательно, могут быть (теоретически, если не на практике) оценены перед вычислением решения. И наоборот, апостериорные (от латинского «от более поздних») оценки зависят от вычисленного решения, но не от точного решения, поэтому они требуют вычисления решения, но могут фактически оцениваться на практике.
Кристиан Клэйсон
1
@ChristianClason - сделай это ответом!
Вольфганг Бангерт

Ответы:

24

Оценки погрешности обычно имеют вид где U является точным решением вы заинтересованы в, у ч является вычислено приближенным решением, ч является приближенным параметр , который можно контролировать, и С ( ч ) является некоторой функцией h (среди прочего). В методах конечных элементов u является решением уравнения в частных производных, а u h будет решением конечных элементов для сетки с размером сетки h

uuhC(h),
uuhhC(h)huuhh, но у вас есть такая же структура в обратных задачах (с параметром регуляризации вместо h ) или итерационных методах для решения уравнений или задач оптимизации (с индексом итерации k - или, скорее, 1 / k - вместо h ) , Смысл такой оценки является помочь ответить на вопрос : «Если я хочу , чтобы в пределах, скажем, 10 - 3 из точного решения, как маленький я должен выбрать часαhk1/kh103h

Разница между априорными и апостериорными оценками заключается в форме правой части :C(h)

  • В априорных оценках правая часть зависит от (обычно явно) и u , но не от u h . Например, типичная априорная оценка для конечно-элементного приближения уравнения Пуассона - Δ u = f будет иметь вид u - u h L 2c h 2 | ты | Н 2 , с постоянной сhuuhΔu=f

    uuhL2ch2|u|H2,
    cв зависимости от геометрии домена и сетки. В принципе, правая часть может быть оценена до вычисления (отсюда и название), поэтому вы сможете выбрать h, прежде чем что-либо решать. На практике ни с, ни | ты | H 2 известно ( у является то , что вы ищете в первую очередь), но иногда вы можете получить оценки порядка или величины для с тщательно проходя через доказательства и | ты | используя данные еuhhc|u|H2uc|u|f(что известно). Основное использование в качестве качественной оценки - оно говорит вам, что если вы хотите уменьшить ошибку в четыре раза, вам нужно вдвое сократить .h
  • huhu

    uuhL2chf+ΔuhH1,
    uhH1
    uuhL2c(KhK2f+ΔuhL2(K)+FhK3/2j(uh)L2(F)),
    KhKKFj(uh)uhFuhchв общем, вы просто выбираете некоторые элементы с большим количеством ошибок и уменьшаете их, подразделяя их. Это основа адаптивных методов конечных элементов .
Кристиан Клэйсон
источник
Этот ответ именно то, что мне нужно, спасибо большое.
Ань Ти ДИНХ