Каковы относительные преимущества использования алгоритма Адамса-Моултона над алгоритмом Адамса-Башфорта?

14

Я решаю систему двух связанных PDE в двух пространственных измерениях и во времени в вычислительном отношении. Поскольку оценки функций являются дорогостоящими, я бы хотел использовать многошаговый метод (инициализированный с использованием Runge-Kutta 4-5).

Метод Адамса-Башфорта, использующий пять предыдущих оценок функций, имеет глобальную ошибку O(h5) (это тот случай, когда s=5 в статье Википедии, на которую ссылаются ниже), и требует одну оценку функции (на PDE) на шаг.

С другой стороны, метод Адамса-Моултона требует двух оценок функций на шаг: одну для шага прогнозирования, а другую для шага корректора. Еще раз, если используются пять оценок функций, общая ошибка равна O(h5) . ( в статье Википедии)s=4

Так в чем же причина использования Адамса-Моултона над Адамсом-Башфортом? Он имеет ошибку того же порядка, что вдвое больше оценок функций. Интуитивно понятно, что метод предиктор-корректор должен быть выгодным, но может ли кто-нибудь объяснить это количественно?

Ссылка: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

SimonSciComp
источник
Этот вопрос неверный . Вы ссылаетесь на Адамса-Моултона, который является полностью неявным методом, но затем вы обсуждаете на самом деле, используя метод предиктор-корректор. Они не одно и то же на всех .
Дэвид Кетчон
@David Метод Адамса-Моултона, на который я ссылаюсь (иногда его называют Адамс-Башфорт-Моултон), является методом предсказателя-корректора. Шаг прогнозирования выполняется с использованием Adams-Bashforth. Результат прогноза затем используется на шаге Адамса-Моултона, чтобы сделать его явным. Я могу дать вам больше подробностей, если это неясно.
SimonSciComp
Ясно. Но это не то, что подразумевается под Адамсом-Моултоном. Вам нужно использовать правильные имена.
Дэвид Кетчон

Ответы:

12

Метод Адамса-Моултона значительно более стабилен. Когда меня учили, аналогия аналогична экстраполяции и интерполяции. Интерполяция относительно безопасна в численном отношении. Экстраполяция может взорваться, если у вас возникла асимптотика или какая-то другая нечетная функция.

Например, решить оду

с y ( 0 ) = 1Y'(T)знак равно-Y(T)Y(0)знак равно1

использование метода Адамса-Башфорта 3-го порядка фактически становится более нестабильным при уменьшении временного шага. Добавив шаг корректора, вы избежите значительной части этой нестабильности. График областей устойчивости для двух методов показан здесь:

введите описание изображения здесь

λчасλλчас

Годрик Провидец
источник
λh
@SimonSciComp Я добавил еще несколько объяснений ниже графика. Дайте мне знать, если что-то еще неясно.
Годрик Провидец
λчас(λчас)<0
1
λ