Почему локальное сохранение важно при решении PDE?

Инженеры часто настаивают на использовании локально-консервативных методов, таких как конечный объем, консервативная методика конечных разностей или прерывистые методы Галеркина, для решения PDE.

Что может пойти не так при использовании метода, который не является локально консервативным?

Итак, локальное сохранение важно для гиперболических PDE, а как насчет эллиптических PDE?

При решении нелинейных гиперболических уравнений в частных производных разрывы («шоки») возникают даже при гладком начальном условии. При наличии разрывов понятие решения можно определить только в слабом смысле. Численная скорость удара зависит от правильных условий Ренкина-Гюгонио, которые в свою очередь зависят от численного выполнения интегрального закона сохранения локально. Теорема Лакса-Вендрофа гарантирует, что сходящийся численный метод будет сходиться к слабому решению гиперболического закона сохранения, только если метод является консервативным.

Вам нужен не только консервативный метод, но и метод, который сохраняет правильные количества. Есть хороший пример, который объясняет это в LeVeque "Методы конечных объемов для гиперболических задач", раздел 11.12 и раздел 12.9. Если вы дискретизируете уравнение Бюргерса

через последовательную дискретизацию

вы заметите, что удары движутся с неправильной скоростью, независимо от того, насколько вы улучшаете сетку. То есть численное решение не будет сходиться к истинному решению . Если вы вместо этого используете консервативную дискретизацию

на основе разности потоков удары будут двигаться с правильной скоростью (которая является средним из состояний слева и справа от удара, для этого уравнения). Этот пример иллюстрируется в этой записной книжке IPython, которую я написал .

Для линейных гиперболических PDE и для других типов PDE, которые обычно имеют гладкие решения, локальное сохранение не является необходимым компонентом для конвергенции. Однако это может быть важно по другим причинам (например, если общая масса представляет интересующее количество).

Я думаю, что один из ответов на ваш вопрос заключается в том, что некоторые сообщества просто всегда использовали консервативные схемы, и поэтому это стало частью "того, как это делается". Кто-то может поспорить, является ли это лучшим способом сделать это, но это примерно так же плодотворно, как просить британцев ехать направо, потому что было бы просто удобнее иметь только на стандартной стороне.

Много раз, уравнения, которые должны быть решены, представляют физический закон сохранения. Например, уравнения Эйлера для гидродинамики являются представлениями сохранения массы, импульса и энергии. Учитывая, что основополагающая реальность, которую мы моделируем, является консервативной, выгодно выбирать методы, которые также являются консервативными.

Вы также можете увидеть нечто подобное с электромагнитными полями. Законы Максвелла включают бездивергентное условие для магнитного поля, но это уравнение не всегда используется для эволюции полей. Метод, который сохраняет это условие (например, ограниченный транспорт), помогает сопоставить физику реальности.

Редактировать: @hardmath указал, что я забыл ответить на вопрос «что может пойти не так» (спасибо!). Этот вопрос конкретно относится к инженерам, но я приведу несколько примеров из своей области (астрофизики) и надеюсь, что они помогут проиллюстрировать идеи, достаточные для обобщения того, что может пойти не так в инженерном приложении.

(1) При моделировании сверхновой у вас есть динамика жидкости, связанная с сетью ядерных реакций (и другой физикой, но мы будем игнорировать это). Многие ядерные реакции сильно зависят от температуры, которая (в приближении первого порядка) является некоторой мерой энергии. Если вам не удастся сберечь энергию, ваша температура будет либо слишком высокой (в этом случае ваши реакции протекают слишком быстро, и вы вносите гораздо больше энергии, и вы получите побег, которого не должно существовать), либо слишком низкой (в этом случае ваши реакции бегите слишком медленно, и вы не можете запитать сверхновую).

(2) При моделировании двойных звезд, вам нужно переписать уравнение импульса, чтобы сохранить момент импульса. Если вам не удается сохранить момент импульса, тогда ваши звезды не могут правильно вращаться друг относительно друга. Если они получают дополнительный момент импульса, они отделяются и перестают правильно взаимодействовать. Если потерять момент импульса, они врезаются друг в друга. Подобные проблемы возникают при моделировании звездных дисков. Сохранение (линейного) импульса желательно, потому что законы физики сохраняют линейный импульс, но иногда вам приходится отказываться от линейного импульса и сохранять момент импульса, потому что это более важно для рассматриваемой проблемы.

Я должен признать, что, несмотря на то, что я цитирую состояние бездивергентности магнитных полей, я не настолько осведомлен в этом вопросе. Невыполнение условия без расхождения может привести к возникновению магнитных монополей (о которых у нас нет никаких данных в настоящее время), но у меня нет хороших примеров случайных проблем, которые могут вызвать симуляцию.

Сегодня я сталкиваюсь с тезисом «Схема EMAC для симуляции Навье-Стокса и применение к прошлым телам обтекания» и замечаю, что в разделе 1.2 он отвечает на вопрос OP, по крайней мере, частично. Соответствующие части:

В сообществе вычислительной гидродинамики ( CFD ) широко распространено мнение, что чем больше физики встроено в дискретизацию, тем точнее и стабильнее дискретные решения, особенно на более длительных временных интервалах. Н. Филлипс в 1959 году [42] построил пример для баротропного нелинейного уравнения завихренности (с использованием конечно-разностной схемы), где долговременное интегрирование конвекционных членов приводит к провалу численного моделирования для любого временного шага. В [4] Аракава показал, что можно избежать проблем нестабильности с интегрированием в течение длительного времени, если кинетическая энергия и энстрофия (в 2D) сохраняются с помощью схемы дискретизации. … В 2004 году Лю и Ван разработали, что сохраняет спиральность и энергию для трехмерных потоков. В [35] они представляют схему сохранения энергии и спиральности для осесимметричных течений. Они также показывают, что их двойная схема консервации устраняет необходимость в большой нефизической числовой вязкости. ...

… На протяжении десятилетий в CFD было известно, что чем больше физических величин сохраняется с помощью схемы конечных элементов, тем более точным является прогноз, особенно на больших временных интервалах. Таким образом, решения, обеспеченные более точной физической схемой, также более физически актуальны. Если бы кто-то мог позволить себе полностью разрешенную сетку и бесконечно малый шаг по времени, то все обычно используемые схемы конечных элементов, как полагают, дают одинаковые численные решения. Однако на практике нельзя позволить себе полностью разрешенную сетку в трехмерном моделировании, особенно для задач, зависящих от времени. Например, в главе 2 нам нужно 50-60 тысяч временных шагов, где каждый временной шаг требует решения разреженной линейной системы с 4 миллионами неизвестных. Это потребовало 2-3 недель вычислительного времени с высокопараллельным кодом на 5 узлах по 24 ядра в каждом.