Все

Теорема 2 из [1] гласит:

предполагать $C$ аддитивный самоортогональный подкод $\textrm{GF}(4)^n$, содержащий $2^{n-k}$ векторы, такие, что нет векторов веса $<d$ в $C^\perp/C$, Тогда любое собственное пространство$\phi^{-1}(C)$ аддитивный квантово-исправляющий код с параметрами $[[n, k, d]]$,

где здесь $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ карта между двоичным представлением $n$кратные операторы Паули и их связанное кодовое слово, и $C$является самоортогональным , если$C \subseteq C^\perp$ где $C^\perp$ двойственный $C$,

Это говорит нам о том, что каждая добавка самоортогональна $\textrm{GF}(4)^n$ классический код представляет собой $[[n, k, d]]$ квантовый код.

У меня вопрос, верно ли обратное, то есть: каждый ли$[[n, k, d]]$ квантовый код, представленный аддитивным самоортогональным $\textrm{GF}(4)^n$ классический код?

Или эквивалентно: есть ли$[[n, k, d]]$ квантовые коды, которые не представлены аддитивным самоортогональным $\textrm{GF}(4)^n$ классический код?

[1]: Calderbank, A. Robert и соавт. «Квантовая коррекция ошибок с помощью кодов над GF (4)». IEEE Труды по теории информации 44.4 (1998): 1369-1387.

Аддитивное самоортогональное ограничение на классические коды для создания квантовых кодов стабилизатора необходимо из-за того, что генераторы стабилизатора должны коммутировать между ними, чтобы создать допустимое кодовое пространство. При создании квантовых кодов из классических кодов соотношение коммутации для стабилизаторов эквивалентно наличию самоортогонального классического кода.

Тем не менее, квантовые коды могут быть построены из не самоортогональных классических кодов над $GF(4)^n$посредством помощи запутывания. В этих конструкциях выбирается произвольный классический код, и путем добавления некоторых пар Белла в систему кубитов получается коммутация между стабилизаторами.

Эта парадигма с помощью запутывания для построения QECC из любого классического кода представлена ​​в arXiv: 1610.04013 , который основан на статье «Исправление квантовых ошибок с запутанностью», опубликованной в Science Бруном, Деветаком и Се.

Ваш вопрос может частично рассматриваться как проблема обозначений.

Запись $[[n,k,d]]_D$часто (но не всегда) резервируется для кодов типа стабилизатора. Как показано в работе Calderbank и др., Коды стабилизаторов кубитов эквивалентны аддитивным самоортогональным классическим кодам GF (4) ^ n. Эта конструкция обобщает, см. Ссылки. Кеткар и соавт. и ашихмин и книл . Здесь размерность кода$D^k$ для количественных показателей.

Некоторые авторы используют $((n,K,d))_D$ обозначать (стабилизатор и нестабилизатор) коды, имеющие размерность $K$, Обратите внимание, что$K$ тогда не обязательно сила $D$,

Rains et al. были первыми, кто построил$((5,6,2))$ код нестабилизирующего типа, который, очевидно, лучше любого кода стабилизатора на пяти кубитах: для сравнения, лучший из них имеет параметры $[[5,2,2]]$и, следовательно, имеет размерность $2^2 = 4 < 6$, Вы найдете больше примеров для неаддитивных квантовых кодов в Yu et al. , Смолин и др. и Грассл и Бет .