Почему не может быть кода исправления ошибок с менее чем 5 кубитами?

В последнее время я читал о 9-кубитовых, 7-кубитных и 5-кубитных кодах, исправляющих ошибки. Но почему не может быть квантового кода с исправлением ошибок с менее чем 5 кубитами?

Доказательство того, что вам нужно как минимум 5 кубитов (или квиттов)

Вот доказательство того, что любой код с квантовой коррекцией ошибок, исправляющий одиночные ошибки ( т. Е. Расстояние 3), имеет как минимум 5 кубитов. Фактически, это обобщает до qudits любого измерения и любого кода квантовой коррекции ошибок, защищающего один или более qudits измерения .$d$$d$

(Как отмечает Феликс Хубер , оригинальное доказательство того, что вам требуется не менее 5 кубитов, связано со статьей Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ], в которой изложены условия Knill - Laflamme: ниже приводится метод доказательства который чаще используется в наши дни.)

Любой код с квантовой коррекцией ошибок, который может исправить неизвестных ошибок, может также исправить до ошибок стирания (когда мы просто теряем некоторый кубит, или он становится полностью деполяризованным или подобным), если известны местоположения стертых кубитов. [1 сек. III A] *. Чуть более широко, квантовый код с исправлением ошибок расстояния может допускать ошибки стирания . Например, хотя код Не может исправить ошибки вообще, в основном потому, что он может сказать, что произошла ошибка (и даже какой тип ошибки), но не какой кубит случилось так, что тот же самый код может защитить от одной ошибки стирания (потому что по гипотезе мы точно знаем, где в этом случае происходит ошибка).$t$$2t$$d$$d-1$$[\![4,2,2]\!]$

Отсюда следует, что любой квантовый код с исправлением ошибок, который может допустить одну ошибку Паули, может восстановиться после потери двух кубитов. Теперь: предположим, у вас есть квантовый код для исправления ошибок в кубитах, кодирующий один кубит против ошибок одного кубита. Предположим, что вы дали кубита Алисе и кубита Бобу: тогда Алиса сможет восстановить исходное закодированное состояние. Если , то , так что Боб также должен иметь возможность восстановить исходное закодированное состояние - таким образом получая клон состояния Алисы. Поскольку это исключено теоремой об отсутствии клонирования, из этого следует, что вместо этого мы должны иметь .$n \geqslant 2$$n-2$$2$$n<5$$2 \geqslant n-2$$n \geqslant 5$

Об исправлении ошибок стирания

* Самое раннее упоминание об этом

[1] Грассл, Бет и Пеллиццари.
      Коды для канала квантового стирания .
      Phys. Rev. A 56 (pp. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- что вскоре после того, как условия Knill-Laflamme были описаны в [ arXiv: quant-ph / 9604034 ], и, таким образом, правдоподобно оригинальное доказательство связи между кодовым расстоянием и ошибками стирания. Схема выглядит следующим образом и применяется к кодам с исправлением ошибок расстояния (и в равной степени применима к тестам любого измерения вместо кубитов с использованием обобщенных операторов Паули).$d$

• Потеря кубитов может быть смоделирована тем, что эти кубиты подвергаются полностью деполяризационному каналу, который, в свою очередь, может моделироваться теми кубитами, которые подвержены равномерно случайным ошибкам Паули.$d-1$

• Если бы местоположение этих кубитов было неизвестно, это было бы фатальным. Однако, поскольку их местоположения известны, любые ошибки пары Паули на кубитах можно отличить друг от друга, обращаясь к условиям Knill-Laflamme.$d-1$$d-1$

• Поэтому, заменив стертые кубиты кубитами в максимально смешанном состоянии и протестировав ошибки Паули на этих кубитах особенно (требуя процедуры исправления, отличной от используемой для исправления произвольных ошибок Паули, обратите внимание), вы можете восстановить исходное состояние.$d-1$

Что мы можем легко доказать, так это то, что не существует меньшего невырожденного кода.

В невырожденном коде у вас должно быть 2 логических состояния кубита, и вы должны иметь отдельное состояние для каждой возможной ошибки, чтобы отобразить каждое логическое состояние. Итак, допустим, у вас был 5-кубитный код с двумя логическими состояниями $|0_L\rangle$ и $|1_L\rangle$ . Набор возможных ошибок одного кубита: $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , а это значит, что все штаты

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ должны отображаться в ортогональных состояний.

Если мы применим этот аргумент в целом, он показывает нам, что нам нужно

$$2+2\times(3n)$$ различных состояний. Но для $n$ кубитов максимальное количество различных состояний составляет $2^n$ . Таким образом, для невырожденного кода ошибки правильного кода с расстоянием 3 (т. Е. С исправлением хотя бы одной ошибки) или более необходимо $$2^n\geq 2(3n+1).$$ Это называется квантовой границей Хэмминга. Вы можете легко проверить, что это верно для всех $n\geq 5$ , но не если $n<5$, Действительно, для $n=5$ неравенство является равенством, и мы в результате называем соответствующий 5-кубитный код идеальным кодом.

В качестве дополнения к другому ответу я собираюсь добавить общую квантовую оценку Хэмминга для квантовых невырожденных кодов с исправлением ошибок. Математическая формулировка такой оценки является

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ где $n$ относится к числу кубитов , которые образуют кодовые слова, $k$ этому число информационных кубитов, которые кодируются (так что они защищены от декогерентности), а $t$ - это число ошибок $t$ кубита, исправленных кодом. Поскольку $t$ связано с расстоянием на $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, то такой невырожденный квантовый код будет$[[n,k,d]]$кодом квантовой коррекции ошибок. Эта граница получается с помощью аргумента типа упаковки сферы, так что$2^n$мерное гильбертово пространство разбивается на$2^{n-k}$пробелы, каждый из которых отличается по измеренному синдрому, и поэтому для каждого из синдромов назначается одна ошибка, а операция восстановления выполняется путем инвертирования ошибки, связанной с таким измеренным синдромом. Вот почему количество полных ошибок, исправленных невырожденным квантовым кодом, должно быть меньше или равно количеству разбиений при измерении синдрома.

Однако вырождение является свойством квантовых кодов с исправлением ошибок, которые подразумевают тот факт, что существуют классы эквивалентности между ошибками, которые могут повлиять на отправленные кодовые слова. Это означает, что существуют ошибки, влияние которых на передаваемые кодовые слова одинаково при использовании одного и того же синдрома. Это означает, что эти классы вырожденных ошибок исправляются с помощью одной и той же операции восстановления, и поэтому можно исправить больше ожидаемых ошибок. Вот почему неизвестно, выполняется ли квантовая граница Хэмминга для этих вырожденных кодов исправления ошибок, поскольку таким образом можно исправить больше ошибок, чем разбиений. Пожалуйста, обратитесь к этому вопросу для получения информации о нарушении квантовой границы Хэмминга.

Я хотел добавить короткий комментарий к самой ранней ссылке. Я считаю, что это было показано чуть ранее в разделе 5.2

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

где конкретный результат:

Теорема 5.1. ( 2 г , к ) е -ошибка исправляющих квантовый код должен удовлетворять г ⩾ 4 е + ⌈ журнала K ⌉ .$(2^r,k)$ $e$$r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$

$(N,K)$$K$$N$$e$$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

( NB. Здесь есть одна особенность: даты представления вышеуказанной статьи в формате arxiv - апрель 1996 года, на пару месяцев раньше, чем документ Грассла, Бет и Пеллиццари, представленный в октябре 1996 года. Тем не менее, дата под заголовком в формате pdf гласит: годом ранее, апрель 1995 года.)

В качестве альтернативного доказательства я мог бы представить (но еще не проверял), что простого решения для распределения веса, которое удовлетворяет тождествам Мак-Вильямса, также должно быть достаточно. Такая стратегия действительно используется

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

показать, что не существует вырожденного кода на пяти кубитах, который может исправить любые ошибки.