Почему невозможно создать наблюдателя для этой не полностью наблюдаемой системы?

Рассмотрим одномерную точечную массу, движущуюся вдоль оси. Сила применяется в качестве контроля. Здесь нет гравитации или других сил. Система может быть описана в уравнениях пространства состояний как:$u$

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Показанная система является управляемой, но не наблюдаемой. Даже структурно не наблюдаемый и, безусловно, не полностью наблюдаемый. Таким образом, должно быть невозможно построить наблюдатель для этой системы.

Однако, если я знаю начальное состояние системы, я могу вычислять полное состояние в любое время, то есть, интегрируя выходные данные системы. Как это согласуется с понятием наблюдаемости? Как бы я включил начальное состояние в уравнения?

Я не могу найти ошибку в моем ходу мыслей, но я уверен, что она есть. Я неправильно понимаю наблюдаемость?

Наблюдаемость означает, что вы можете оценить полное состояние, используя только выходные данные, не зная начального состояния. Другими словами, вы должны выяснить, где вы находитесь, не зная, где вы были изначально.

Более практическая причина, по которой это редко работает, заключается в том, что когда вы ограничены несовершенными датчиками и ненулевым временем выборки, взятие интеграла от ускорения вызовет растущие ошибки в ваших оценках положения и скорости. Таким образом, даже если вы знаете начальное состояние, вы со временем «потеряете его».