Дифференциальные уравнения (упрощенного) моста нагрузки

У меня проблемы с вычислением дифференциальных уравнений упрощенного моста нагрузки.

Система построена, как показано на рисунке ниже (просто эскиз):

Если я использую подход Ньютона, я получаю следующие уравнения, пренебрегая трением, сопротивлением воздуха и изменениями длины каната:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Когда я смотрю на кинематические отношения из захвата (круг с весом ), я получаю следующие уравнения. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Я знаю веса и и длину но значения сейчас не важны. $m_k$ $m_G$ $l$

Цель состоит в том, чтобы в конце было два дифференциальных уравнения. Одно уравнение должно показать взаимосвязь между движущей силой и траекторией тележки (с производными). Другое уравнение должно показать взаимосвязь между движущей силой и углом наклона каната . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

После этого я хочу сделать передаточные функции (преобразование Лапласа и т. Д.), Но это не проблема.

Проблема в том, что я не могу найти эти уравнения. Мой лучший подход пока выглядит так:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Так что это означает, что если

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Я могу сказать:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

и если я получу так: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Я на самом деле застреваю здесь, потому что я не могу найти способ устранить из уравнений. Теоремы сложения мне совсем не помогают (или я правильно их использую). $\varphi$

Кто-нибудь имеет представление о том, как я должен продолжать в этом месте? Надеюсь, мне не нужно полное решение. Я на самом деле больше заинтересован в том, чтобы сделать это сам, и надеюсь получить толчок в правильном направлении.

mechanical-engineering control-engineering modeling mathematics TLP
источник

Ответы:

Я предполагаю, что вам, вероятно, понадобится другое дифференциальное уравнение для углового движения, которое будет включать инерцию, например:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

что дает:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Затем вы можете использовать приближение малых углов:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Посмотрите на пример перевернутого маятника .

am304
источник

Особенно перевернутый маятник очень полезен ... спасибо за это - я не думал об этом

tlp

Кинематика и динамика

Это шаги для решения проблем такого рода.

Проанализируйте кинематику системы.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

примечание: - матрица вращения, а . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Взяв производные по времени:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Используйте уравнение Ньютона:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Заменить : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Для оси Z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Используйте второй закон Ньютона для вращения:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Использование тригонометрических тождеств:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Выполнено! Теперь вы можете отдохнуть ... $\ddot\smile$

leCrazyEngineer
источник