Дифференциальные уравнения (упрощенного) моста нагрузки

10

У меня проблемы с вычислением дифференциальных уравнений упрощенного моста нагрузки.

Система построена, как показано на рисунке ниже (просто эскиз):

введите описание изображения здесь

Если я использую подход Ньютона, я получаю следующие уравнения, пренебрегая трением, сопротивлением воздуха и изменениями длины каната:

mkx¨k=FA+FSsin(φ)mGx¨G=FSsin(φ)mGz¨G=mGgFScos(φ)

Когда я смотрю на кинематические отношения из захвата (круг с весом ), я получаю следующие уравнения.mG

xG=xk+lsin(φ)zG=lcos(φ)φ=ωt=φ˙t

Я знаю веса и и длину но значения сейчас не важны.mkmGl

Цель состоит в том, чтобы в конце было два дифференциальных уравнения. Одно уравнение должно показать взаимосвязь между движущей силой и траекторией тележки (с производными). Другое уравнение должно показать взаимосвязь между движущей силой и углом наклона каната .FAxkFAφG

После этого я хочу сделать передаточные функции (преобразование Лапласа и т. Д.), Но это не проблема.

Проблема в том, что я не могу найти эти уравнения. Мой лучший подход пока выглядит так:

mkx¨k=FA+FSsin(φ)

Так что это означает, что если

mGx¨G=FSsin(φ)FSsin(φ)=mGx¨G

Я могу сказать:

mkx¨k=FAmGx¨G

и если я получу так:xG

xG=xk+lsin(φ)x˙G=x˙k+lφ˙cos(φ)x¨G=x¨k+l[φ¨cos(φ)φ˙2sin(φ)]

Я на самом деле застреваю здесь, потому что я не могу найти способ устранить из уравнений. Теоремы сложения мне совсем не помогают (или я правильно их использую).φ

Кто-нибудь имеет представление о том, как я должен продолжать в этом месте? Надеюсь, мне не нужно полное решение. Я на самом деле больше заинтересован в том, чтобы сделать это сам, и надеюсь получить толчок в правильном направлении.

TLP
источник

Ответы:

5

Я предполагаю, что вам, вероятно, понадобится другое дифференциальное уравнение для углового движения, которое будет включать инерцию, например:

mGl2φ¨=mGglsin(φ)

что дает:

φ¨=glsin(φ)

Затем вы можете использовать приближение малых углов:

sin(φ)φ

Посмотрите на пример перевернутого маятника .

am304
источник
Особенно перевернутый маятник очень полезен ... спасибо за это - я не думал об этом
tlp
6

Кинематика и динамика

введите описание изображения здесь

Это шаги для решения проблем такого рода.

  1. Проанализируйте кинематику системы.

orOP = +orORorRP

orOP = +orORR(φ)BrRP

orOP = +(xkî+0j+0k)(sin(φ)lî+0j+cos(φ)lk)

orOP =[(xk+sin(φ)l)î+0j+(cos(φ)l)k]

примечание: - матрица вращения, а .R(φ)xG=xk+sin(φ)l

Взяв производные по времени:

xG˙ =xk˙+cos(φ)φ˙l

xG¨ =xk¨+lcos(φ)φ¨lsin(φ)φ˙2

  1. Используйте уравнение Ньютона:

mkxk¨=FAmGxG¨

Заменить :xG

mkxk¨=FAmG(xk¨+lcos(φ)φ¨lsin(φ)φ˙2)

(mk+mG)xk¨+mG(lcos(φ)φ¨)mG(lsin(φ)φ˙2)=FA

Для оси Z:

FZ =mGgl(cos(φ)φ˙2+sin(φ)φ¨)

  1. Используйте второй закон Ньютона для вращения:

Iφ¨ =FZlsin(φ)(mGxG¨)lcos(φ)

FZlsin(φ)=mGglsin(φ)l2(cos(φ)sin(φ)φ˙2+sin(φ)2φ¨)

(mGxG¨)lcos(φ)=mG(l2cos(φ)2φ¨)mG(l2cos(φ)sin(φ)φ˙2)+mGxK¨lcos(φ)

Использование тригонометрических тождеств:

(I+mGl2)φ¨ =mGglsin(φ)mklcos(φ)xk¨

  1. Выполнено! Теперь вы можете отдохнуть ... ¨
leCrazyEngineer
источник