Теория решений Вопрос: Существование и единственность однозначного эквивалента р

2

Пусть быть интервал в прямой и обозначим через множества простых вероятностных распределений на . Рассмотрим отношение предпочтений на \ Delta (X), которое удовлетворяет аксиомам теории ожидаемой полезности. Если \ succcurlyeq демонстрирует монотонность относительно стохастического доминирования первого порядка и неприятия риска, то для всех p \ in \ Delta (X) определенность, эквивалентная p, существует и является уникальной.X=(x,x)Δ(X)XΔ(X)pΔ(X)p

Эскиз доказательства:

1) Определим эквивалентный лотерейный эквивалент p : CEpXu(x)p(x)dx

2) Мы знаем, что если p FOSD q то pq

3) Из-за неприятия риска: Xu(x)p(x)dxu(Xxp(x)dx)=u(p)

4) Мы хотим показать , что в лотерею, называют это s такое , что CEps ; в этом отношении (из 3 выше) мы знаем, что ps ; Затем мы выбираем конкретную лотерею q такую, что pq

5) Поскольку по предположению на Δ(X) удовлетворяет аксиомам теоремы ожидаемой полезности (в частности, непрерывности), существует единственная α такая, что αp+(1α)qs (см. MWG стр. 177). Поэтому мы доказали, что составная лотерея s которая является точным эквивалентом лотереи p .

ВОПРОС: Я пропускаю какие-либо детали в доказательстве?

night_owl89
источник

Ответы:

4

Ваша запись немного вводит в заблуждение: было бы лучше написать или для ожидаемой утилиты, связанной с вместо и для полезности ожидаемого значения . Формально определено на а не на .Eu(p)U(p)pu(p)u(Ep)puXΔ(X)

Что касается вашего доказательства, мне кажется, что: вы не объясняете, как найти ; вы не найдете точного эквивалента, потому что - это лотерея. То, что вы хотите найти, - это верный денежный приз, то есть вырожденная лотерея, которую лицо, принимающее решения, оценивает так же, как лотерея .(i)s(ii)sp

Например, вы можете заметить, что по монотонности , u

u(x)Xu(x)p(x)dxu(x)

Кроме того, функция непрерывна. Следовательно, по теореме о промежуточном значении существует такой что .u:xu(x)CEp[x,x]u(CEp)=Xu(x)p(x)dx

Для единственности представьте, что является еще одним эквивалентом достоверности , то есть что . Поскольку строго увеличивается (что можно рассматривать как следствие монотонности по отношению к стохастическому доминированию первого порядка), мы получаем .CEppu(CEp)=u(CEp)uCEp=CEp

Обратите внимание, что вам не нужно риска, чтобы доказать результат, но также подразумевается, что .CEpEp

Олив
источник