Теория решений Вопрос: Существование и единственность однозначного эквивалента р

Пусть быть интервал в прямой и обозначим через множества простых вероятностных распределений на . Рассмотрим отношение предпочтений на которое удовлетворяет аксиомам теории ожидаемой полезности. Если демонстрирует монотонность относительно стохастического доминирования первого порядка и неприятия риска, то для всех определенность, эквивалентная существует и является уникальной. $X = (x_*,x^*)$ $\Delta(X)$ $X$ $\succcurlyeq$ $\Delta(X)$ $\succcurlyeq$ $p \in \Delta(X)$ $p$

Эскиз доказательства:

1) Определим эквивалентный лотерейный эквивалент $p$ : $CE_p \sim \int_{X}u(x)p(x)dx$

2) Мы знаем, что если $p$ FOSD $q$ то $p\succcurlyeq q$

3) Из-за неприятия риска: $\int_{X}u(x)p(x)dx \leq u(\int_{X}xp(x)dx) =u(p)$

4) Мы хотим показать , что $\exists$ в лотерею, называют это $s$ такое , что $CE_p \sim s$ ; в этом отношении (из 3 выше) мы знаем, что $p \succcurlyeq s$ ; Затем мы выбираем конкретную лотерею $q$ такую, что $p \succcurlyeq q$

5) Поскольку по предположению $\succcurlyeq$ на $\Delta(X)$ удовлетворяет аксиомам теоремы ожидаемой полезности (в частности, непрерывности), существует единственная $\alpha$ такая, что $\alpha p + (1-\alpha) q \sim s$ (см. MWG стр. 177). Поэтому мы доказали, что $\exists$ составная лотерея $s$ которая является точным эквивалентом лотереи $p$ .

ВОПРОС: Я пропускаю какие-либо детали в доказательстве?

decision-theory expected-utility uncertainty night_owl89
источник

Ответы:

Ваша запись немного вводит в заблуждение: было бы лучше написать или для ожидаемой утилиты, связанной с вместо и для полезности ожидаемого значения . Формально определено на а не на . $\mathbb{E}u(p)$ $U(p)$ $p$ $u(p)$ $u(\mathbb{E}p)$ $p$ $u$ $X$ $\Delta(X)$

Что касается вашего доказательства, мне кажется, что: вы не объясняете, как найти ; вы не найдете точного эквивалента, потому что - это лотерея. То, что вы хотите найти, - это верный денежный приз, то есть вырожденная лотерея, которую лицо, принимающее решения, оценивает так же, как лотерея . $(i)$ $s$ $(ii)$ $s$ $p$

Например, вы можете заметить, что по монотонности , $u$

u (x_{*}) \leq \int_{X} u (x) p (x) d x \leq u (x^{*})

$\begin{equation} u(x_{*})\leq \int_{X}{u(x)p(x)dx} \leq u(x^{*}) \end{equation}$

Кроме того, функция непрерывна. Следовательно, по теореме о промежуточном значении существует такой что . $u:x \rightarrow u(x)$ $CE_p \in [x_{*},x^{*}]$ $u(CE_p) = \int_{X}{u(x)p(x)dx}$

Для единственности представьте, что является еще одним эквивалентом достоверности , то есть что . Поскольку строго увеличивается (что можно рассматривать как следствие монотонности по отношению к стохастическому доминированию первого порядка), мы получаем . $CE'_p$ $p$ $u(CE'_p)=u(CE_p)$ $u$ $CE'_p=CE_p$

Обратите внимание, что вам не нужно риска, чтобы доказать результат, но также подразумевается, что . $CE_p \leq \mathbb{E}p$

Олив
источник