Аксиома непрерывности в теории ожидаемой полезности

Возьмите следующее определение непрерывности.

Отношение предпочтения $\succsim$над пространством лотерей $\mathcal L$ непрерывно, если для любого $L,L',L''\in\mathcal L$ множества

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ и $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$ закрыты.

Обязательно ли $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Если так, то почему?

Это.
До непрерывности, которая является свойством отношения предпочтения, само отношение предпочтения было определено как бинарное отношение, которое характеризуется транзитивностью и, для начала, полнотой . Тогда, если , это означает, что существуют некоторые значения где-то в , назовите их для которых $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

ни

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ни

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

Словом, для этих пара не может быть упорядочена вообще . Но это противоречит основанию полноты, которое необходимо для того, чтобы даже получить отношение предпочтения (как, конечно, в нашей теории. Психологи, я думаю, не согласились бы).$\tilde \alpha$

Также обратите внимание, что полнота определяется для всех возможных пар, даже если в конкретной ситуации мы решили ограничить пространство лотерей чем-то меньшим. Принадлежат ли рассматриваемые лотереи к указанному месту проведения лотереи, действительно не имеет значения. Человек, имеющий предпочтения, должен иметь возможность заказать их в любом случае, даже в «гипотетическом» сценарии (хотя, строго говоря, для конкретной проблемы у нас есть «роскошь» навязывать полноту только в отношении доступных лотерей, в то время как » оставаясь агностиком "в отношении полноты, если мы расширим пространство лотереи. Тем не менее, это" ослабление "навязывания аксиомы полноты, на самом деле, не приносит никакой выгоды).