Какая из аксиом Анскомба-Ауманна подразумевает принцип Sure-Thing?

8

Рассмотрим установку Анскомба-Ауманна и предположим, что отношение предпочтения удовлетворяет всем исходным аксиомам Анскомба-Ауманна (рациональность, непрерывность, независимость и монотонность).

Если мы ограничим внимание чистыми скачками (то есть действуем без какой-либо объективной неопределенности), модель Анскомба-Ауманна сводится к представлению «Субъективная ожидаемая полезность» в духе Сэвиджа. Следовательно, по сравнению с чистыми скачками человек, принимающий решения, удовлетворяет всем аксиомам Сэвиджа, в частности, принципу верности (P2 в терминологии Сэвиджа).

Я не вижу прямой связи между аксиомами Анскомба-Ауманна и принципом уверенности. Кто-нибудь видит, как аксиомы Анскомба-Ауманна подразумевают принцип уверенности? В частности, это происходит только из-за независимости, или требуется независимость и монотонность?

Олив
источник

Ответы:

8

В качестве первого замечания: аксиомы Анскомба-Ауманна, в частности Независимость, определяются по действиям, переводящим пространство состояний в линейное пространство (обычно простые лотереи по объектам потребления). Даже когда мы рассматриваем ограничение модели чисто субъективно неопределенными действиями, нам все равно необходимо использовать полную модель, иначе мы потеряем информацию.

При этом: пусть - конечное пространство состояний, а - конечный набор альтернатив. Пусть обозначает все лотереи над а является актом. Для события , пусть будет действием, определенным как SXΔ(X)Xf:SΔ(X)ESfEg

fEg{f(s) if xEg(s) if xE.

Теперь мы можем сказать, что наша модель удовлетворяет принципу верности, если и тогдаЭто определение действительно для всех действий, не только для тех, которые не имеют объективного риска, но, очевидно, вы можете рассмотреть только соответствующий прогноз.fEhgEhfEchgEchfg.

Предположим, что предшественник STP. Из и независимости мы получаем, что Обратите внимание, что мы можем переписать это как и, снова применяя независимость, мы получаем fEhgEh

12fEh+12fEch12gEh+12fEch.
12f+12h12gEf+12h
(1)fgEf.

Аналогично, из и независимости мы получаем, что Опять же , мы можем переписать в виде и, применяя независимость снова, мы получаем fEchgEch

12fEch+12gEh12gEch+12gEh.
12gEf+12h12g+12h
(2)gEfg.

Объединение (1) и (2) через транзитивность дает желаемые соотношения. Возвращаясь к предварительному замечанию, отметим, что для применения независимости нам необходимо смешивать действия, обращающиеся к объективному риску. Таким образом, даже когда , и имеют объективного риска, нам все равно нужны рискованные действия, чтобы служить посредником в доказательстве. В некотором смысле, это великое понимание всей структуры АА - использование объективного риска, чтобы обойти необходимость бесконечного пространства состояний, используя линейность ожиданий для форсирования STP.fgh

Обратите внимание, что были использованы только независимость и транзитивность. Это должно указывать на то, что даже зависящий от государства ЕС (где монотонность / независимость от государства не удается) или ЕС Бьюли (где полнота ослаблена) все равно будут удовлетворять STP.


Отредактируйте в ответ на комментарий: Давайте назовем вышеупомянутое понятие принципа Sure Thing STP1 и скажем, что предпочтение удовлетворяет STP2, если для всех . Тогда, если является предзаказом, он удовлетворяет STP1 тогда и только тогда, когда он удовлетворяет STP2.fEhgEhfEhgEhf,g,h,h

Сначала предположим, что выполняется STP2 и что и . Тогда по STP2 имеем Транзитивность подразумевает ; STP1 держит.fEhgEhfEchgEch

f=fEfgEf and gEf=fEcgg.
fg

Далее предположим, что выполняется STP1 и . Определите и аналогично. По определению поэтому наше предположение идентично тому, что Далее поэтому из рефлексивности предпочтений мы имеем Теперь мы можем применить STP1 к (3) и (4), чтобы получитьfEhgEhf^=fEhg^

f^Eh=fEh and g^Eh=gEh,
(3)f^Ehg^Eh.
f^Ech=g^Ech=hEh
(4)f^Echg^Ech.
f^g^, что, учитывая их определение, именно то, что нам нужно показать для STP2 для хранения.
201P
источник
(+1) Вопрос: было показано, что STP требует, чтобы действия не влияли на вероятности событий, иначе это может не выполняться. Охвачено ли это / гарантировано рамками АА?
Алекос Пападопулос
@ 201p отличный ответ, большое спасибо. Один вопрос: стандартное определение STP состоит в том, что . Ваше определение эквивалентно этому? fEhgEhfEhgEh
Олив
@AlecosPapadopoulos разве это не аксиома P4 (вместо P2), которая требует вероятностей быть независимыми от действия? В противном случае, у вас есть ссылка на вашу претензию?
Олив
@ Олив Конечно, проверьте ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf и литературу в нем.
Алекос Пападопулос
@AlecosPapadopoulos большое спасибо, это очень полезно.
Олив