Преимущество над лотереями без аксиомы независимости

8

Предположим, набор Nрезультаты могут быть ранжированы в следующем порядке: . Кроме того, предположим, что лицо, принимающее решение, имеет преимущество перед лотереями по сравнению с этими результатами. Предположим, что предпочтение над лотереями является рациональным, непрерывным, но не обязательно совместимым с аксиомой независимости .12N

Следует ли из этого, что лучшей лотереей в этом случае является вырожденная лотерея ?(1,0,,0)

Что, если аксиома независимости нарушается ?

Герр К.
источник
2
Не следует ли в названии говорить о предпочтениях по лотереям (риску) без аксиомы независимости, поскольку ожидаемая полезность Фон Неймана Моргестена фактически получена из аксиомы независимости.
user157623
@ user157623: Название изменено. Спасибо за комментарий.
г-н К.

Ответы:

9

Нет, не обязательно Без аксиомы независимости (или чего-то еще, что заменит ее) вы не сможете сделать вывод о предпочтениях по сравнению с (невырожденными) лотереями, зная, что предпочтения имеют только результаты.

Например, пусть будет вероятностью исходов . Тогда предпочтения над лотереями представлены функцией полезностиpnLn{1,2,3}

U(L)=p1L+β[p2Lp3L],

непрерывны и рациональны, но не удовлетворяют аксиоме независимости. Для достаточно большой, это даже не тот случай, когда является лучшей лотереей, хотя и .β(1,0,0)(1,0,0)(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)

Чтобы понять почему, соблюдайте это

U(1,0,0)=1,
U(0,1,0)=0,
U(0,0,1)=0,

Однако, для ,β>4

U(0,12,12)>1.

Нарушение аксиомы независимости можно увидеть из того факта, что, когда ,β>4

[1,0,0][0,1,0],

хотя

[0,12,12][12,0,12].

Мартин Ван дер Линден
источник