Докажите, что

Если X конечно, определите эту функцию $u : X \rightarrow \mathbb{R}$ как $u(x) = |\{z\in X:z \prec x \}|$, Докажите, что $u$ для $\succsim$ .

Достаточно ли доказать, что отношение транзитивно и полно?
По лемме: если $\succsim$ имеет функцию полезности, то она транзитивна и полна.

Вас просят доказать, что $u(x)\ge u(y)\;\Leftrightarrow\;x\succsim y$ для любого$x,y\in X$ , где$u(x)=|\{z\in X:z\prec x\}|$Т.е. полезность$x$ измеряется количеством других альтернатив, которые ранжируются строго ниже его. Поскольку$X$ конечно, давайте предположим без ограничения общности, что$X=\{1,2,\dots,N\}$ где$N$ - некоторое конечное число.

Я докажу случай, когда среди альтернатив нет равнодушия, скажем, $1\succ2\succ\cdots\succ N$ . Я позволю вам закончить доказательство, установив случай, когда среди подмножеств альтернатив есть безразличия.

Шаг 1. Установление $u(x)>u(y)\;\Rightarrow\;x\succ y$ .

Предположим, что $u(x)>u(y)$ . По определению $u$ число альтернатив, строго хуже $x$ , больше, чем количество альтернатив, строго хуже $y$ . Если $y\succsim x$ , это просто противоречило бы предыдущему утверждению. Следовательно, мы должны иметь $x\succ y$ .

Шаг 2. Создание $x\succ y\;\Rightarrow\;u(x)>u(y)$ .

Предположим, что $x\succ y$ . Поскольку мы не предполагаем безразличия среди альтернатив, множество строго худших альтернатив $x$ , $\{z\in X:x\succ z\}$ , должно содержать больше элементов, чем множество строго худших альтернатив $y$ , $\{z\in X:y\succ z\}$ , Другими словами, $|\{z\in X:x\succ z\}|>|\{z\in X:y\succ z\}|$, Поэтому получаем$u(x)>u(y)$ .

Взятые вместе, шаги 1 и 2 демонстрируют, что $x\succ y\;\Leftrightarrow\;u(x)>u(y)$ для произвольного$x,y\in X$ .