Докажите, что

0

Если X конечно, определите эту функцию u:XR как u(x)=|{zX:zx}|, Докажите, что u для .


Достаточно ли доказать, что отношение транзитивно и полно?
По лемме: если имеет функцию полезности, то она транзитивна и полна.

Zhang_anlan
источник
1
Вам дана очень специфическая функция полезности, и вас просят доказать, что эта конкретная функция представляет собой предпочтение перед конечным набором выбора. Другими словами, вас просят доказать для всех x , y X , где u определено в вопросе. u(x)u(y)xyx,yXu
Г-н К.
Спасибо. Я все еще не понимаю, как доказать подобные вещи.
Zhang_anlan

Ответы:

1

Вас просят доказать, что u(x)u(y)xy для любогоx,yX , гдеu(x)=|{zX:zx}|Т.е. полезностьx измеряется количеством других альтернатив, которые ранжируются строго ниже его. ПосколькуX конечно, давайте предположим без ограничения общности, чтоX={1,2,,N} гдеN - некоторое конечное число.

Я докажу случай, когда среди альтернатив нет равнодушия, скажем, 12N . Я позволю вам закончить доказательство, установив случай, когда среди подмножеств альтернатив есть безразличия.


Шаг 1. Установление u(x)>u(y)xy .

Предположим, что u(x)>u(y) . По определению u число альтернатив, строго хуже x , больше, чем количество альтернатив, строго хуже y . Если yx , это просто противоречило бы предыдущему утверждению. Следовательно, мы должны иметь xy .

Шаг 2. Создание xyu(x)>u(y) .

Предположим, что xy . Поскольку мы не предполагаем безразличия среди альтернатив, множество строго худших альтернатив x , {zX:xz} , должно содержать больше элементов, чем множество строго худших альтернатив Y , {ZИкс:YZ} , Другими словами, |{ZИкс:ИксZ}|>|{ZИкс:YZ}|, Поэтому получаемU(Икс)>U(Y) .

Взятые вместе, шаги 1 и 2 демонстрируют, что ИксYU(Икс)>U(Y) для произвольногоИкс,YИкс .

Герр К.
источник