Помогите понять множители Лагранжа?

Я пытаюсь понять множители Лагранжа и использую пример проблемы, которую я нашел в Интернете.

Решение проблемы:

Рассмотрим потребителя с функцией полезности , где . Предположим, этот потребитель имеет богатство и цены . Это все, что нам дали.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Работа, которую я сделал:

Затем я определил уравнение бюджетного ограничения: . Затем я также определил связанный лагранжиан для задачи максимизации потребителя: , Λ ( x , y , λ ) = x α y 1 - α + λ ( ( x p x + y p y ) - w $w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Мой вопрос:

Что это уравнение позволяет мне сделать? Хотя я настроил это, учитывая формулу на странице Википедии о множителях Лагранжа, я действительно понятия не имею, какова цель этого уравнения. Как будто я не понимаю, как приведенное уравнение позволяет мне определить, как максимизировать мою функцию полезности.

Примечание: я знаком с многофакторным исчислением и лагранжианом ( ) в физике, но этот метод для меня новый.$L = T -V$

Ограниченная функция оптимизации максимизирует или минимизирует цель, подверженную одному или нескольким ограничениям. Насколько я понимаю, подход множителей Лагранжа превращает ограниченную задачу оптимизации (I) в задачу неограниченной оптимизации (II), где оптимальные значения управления для задачи II также являются оптимальными значениями управления для задачи I. Кроме того, целевые функции в задачи I и II принимают одинаковые оптимальные значения. Хитрость - это умный способ поместить ограничения в целевую функцию напрямую, а не использовать их по отдельности.

Я согласен с вашей презентацией задачи максимизации потребителя: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Теперь мы берем частные производные по x a y, устанавливаем их равными нулю, а затем решаем для x * и y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(уравнение 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Восстановите уравнение бюджетного ограничения, взяв частную производную .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(уравнение 2)$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных (x, y), и мы можем решить для x * и y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(результат 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

(результат 2)$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

Результаты 1 и 2 образуют известный результат с постоянными расходами для функций Кобба-Дугласа и производства. Что также может быть явно решено для x * и y *: и y ∗ = ( 1 - α ) w / p y, которые являются оптимальными значениями как для лагранжиана, так и для исходных задач.$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Это для интуиции, а не для строгости, и предполагает, что мы знаем, каким образом вы хотели бы отклониться от ограничения. Здесь это легко; Вы хотели бы перерасход, поэтому мы вызываем Лагранж дисциплинировать вас тратить , а не больше. Подумайте о проблеме в следующих шагах:$w$

1. Вы хотите выйти и съесть пиццу ( ) и пиво ( y ) и попросить своих родителей взять кредитную карту.$x$$y$
2. Ваши родители знают вас, так и с помощью кредитной карты вы получите следующее предупреждение: если вы тратите больше , чем , мы будем препятствовать нашему злой сосед мистер Лагранж пороть пальцами, доставляя боль Вертерзее А коммунальные единицы за доллар вам перерасход.$w$$\lambda$
3. Посмотрите на лагранжиан; теперь это ваша полезная сеть штрафов, как функция пиццы ( ), пива ( y ) и боли ( λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) ). С вашей точки зрения, вы просто максимизируете это для данного λ (что означает, в частности, что, если λ очень мало, превышение вашего бюджета будет стоить небольшое количество пощечин от мистера Лагранжа).$x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. С точки зрения ваших родителей, они хотят откорректировать до числа, которое заставляет вас добровольно выбирать, чтобы именно потратить w , оставляя мистера Лагранжа в страхе. ( Если вы выберете λ выше, это приведет к тому, что вы будете тратить слишком мало, вы можете соответствующим образом скорректировать интерпретацию.)$\lambda$$w$$\lambda$
5. Конечно, тогда вы точно выберете уровень, на котором вам безразлично иметь и не иметь пакет дополнительного потребления и штрафа. Следовательно, интерпретация теневой цены: - это (точнее: пример первого порядка), сколько вы готовы заплатить - в тех же единицах, что и ваша целевая функция! чтобы ваш бюджет увеличился.$\lambda$

Что касается предложения изменить знак ограничения: конечно, оно работает математически, но я почти никогда не использую его для целей обучения; оставляя все как есть, выставляет ограничение (которое вам не нравится, оно снижает вашу полезность) как эквивалент налога (который вам тоже не нравится, для та же самая причина). С экономической точки зрения вы получаете представление о том, что ограничение вводится налогом, и это полезно, например, при моделировании пигувийских налогов, которые интернализуют (нежелательные негативные) внешние факторы.$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Использование множителей Lgrange для оптимизации функции при ограничениях является полезным методом , хотя, в конце концов, он предоставляет дополнительную информацию и информацию. Придерживаясь случая ограничения равенства, проблема

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

конечно, может быть преобразован в безусловную проблему путем прямой замены:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Но в целом прямое замещение может привести к громоздким выражениям (особенно в динамических задачах), где будет легко совершить алгебраическую ошибку. Так что метод Лагранжа имеет здесь преимущество. Более того, множитель Лагранжа имеет значимую экономическую интерпретацию. В этом подходе мы определяем новую переменную, скажем, , и формируем «функцию Лагранжа»$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Во- первых, отметим , что является эквивалентной к U ( х , у ) , так как добавленная часть справа тождественно равна нулю. Теперь мы максимизируем лагранжиан по двум переменным и получаем условия первого порядка$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Приравнивая через , это обеспечивает быстрое фундаментальное соотношение$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

С полезностью, однородной степени первой, как это имеет место с функциями Кобба-Дугласа, мы имеем, что

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

и поэтому при оптимальной связке мы имеем

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

И вот как множитель Лагранжа приобретает экономически значимую интерпретацию: его ценность - предельная полезность богатства . Теперь, в контексте порядковой полезности, предельная полезность на самом деле не имеет смысла (см. Также обсуждение здесь ). Но описанная выше процедура может быть применена, например, к проблеме минимизации затрат, где множитель Лагранжа отражает увеличение общих затрат за счет незначительного увеличения произведенного количества, и поэтому это предельные затраты.

Я бы порекомендовал вам проработать этот ответ по параграфам, убедившись, что вы получили каждый из них по очереди, иначе вы запутаетесь. Вы можете даже игнорировать более поздние, если это не нужно для вашей цели.

Основная идея состоит в том, что если точка является условно-экстремальной, то она обязательно является стационарной точкой лагранжиана, т. Е. Такой точкой, что все частные производные лагранжиана в ней равны нулю. Для решения задачи вам необходимо определить все стационарные точки и найти среди них максимум.

$x= 0$$y = 0$

$x$$y$$x = 0$$y=0$

В будущем вам следует помнить об этой проблеме, если такой тип обычно должен решаться путем применения теоремы Куна-Такера, и я рекомендую вам ознакомиться с ней после того, как вы освоите этот материал.

$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ $\lambda$

$\lambda_i$$i$

$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$