Какова цель характерных функций?

Я надеюсь, что кто-то может объяснить, с точки зрения непрофессионала, что такое характерная функция и как она используется на практике. Я читал, что это преобразование Фурье в PDF, так что, думаю, я знаю, что это такое, но я до сих пор не понимаю его цели. Если бы кто-то мог предоставить интуитивное описание его цели и, возможно, пример того, как он обычно используется, это было бы здорово!

Еще одно последнее замечание: я видел страницу в Википедии , но, видимо, слишком плотен, чтобы понять, что происходит. То, что я ищу, - это объяснение, которое может понять кто-то, не погруженный в чудеса теории вероятностей, скажем, специалист по информатике.

Когда-то люди использовали таблицы логарифмов, чтобы умножать числа быстрее. Почему это? Логарифмы преобразовывают умножение в сложение, так как . Таким образом, чтобы умножить два больших числа a и b , вы нашли их логарифмы, добавили логарифмы z = log ( a ) + log ( b ) , а затем посмотрели exp ( z ) в другой таблице.$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

Теперь характеристические функции делают то же самое для распределения вероятностей. Предположим, что имеет распределение f, а Y имеет распределение g , а X и Y независимы. Тогда распределение X + Y является сверткой из е и г , е * г .$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

Теперь характеристическая функция является аналогом «трюка с логарифмической таблицей» для свертки, поскольку если является характеристической функцией f , то имеет место следующее соотношение:$\phi_f$$f$

Кроме того, также как и в случае логарифмов, легко найти обратную характеристическую функцию: учитывая где h - неизвестная плотность, мы можем получить h с помощью обратного преобразования Фурье ϕ h .$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

Характеристическая функция преобразует свертку в умножение для функций плотности так же, как логарифмы преобразуют умножение в сложение для чисел. Оба преобразования преобразуют относительно сложную операцию в относительно простую.

@ charles.y.zheng и @cardinal дали очень хорошие ответы, я добавлю свои два цента. Да, характеристическая функция может выглядеть как ненужное усложнение, но это мощный инструмент, который может дать вам результаты. Если вы пытаетесь что-то доказать с помощью кумулятивной функции распределения, всегда желательно проверить, нельзя ли получить результат с помощью характеристической функции. Это иногда дает очень короткие доказательства.

Хотя поначалу характеристическая функция выглядит не интуитивно понятным способом работы с распределениями вероятностей, есть несколько мощных результатов, непосредственно связанных с ней, из которых следует, что вы не можете отбросить эту концепцию как простое математическое развлечение. Например, мой любимый результат в теории вероятностей состоит в том, что любое бесконечно делимое распределение имеет единственное представление Леви-Хинчина . В сочетании с тем фактом, что бесконечно делимые распределения являются единственно возможным распределением для пределов сумм независимых случайных величин (исключая причудливые случаи), это глубокий результат, с помощью которого выводится центральная предельная теорема.

Назначение характеристических функций состоит в том, что они могут использоваться для получения свойств распределений в теории вероятностей. Если вас не интересуют такие деривации, вам не нужно изучать характерные функции.

Характеристическая функция - это преобразование Фурье функции плотности распределения. Если у вас есть интуиция относительно преобразований Фурье, этот факт может быть поучительным. Общая история преобразований Фурье заключается в том, что они описывают функцию «в частотном пространстве». Поскольку плотность вероятности обычно унимодальна (по крайней мере, в реальном мире или в моделях, сделанных для реального мира), это не кажется ужасно интересным.

Преобразование Фурье является разложением функции (непериодической) по ее частотам. Интерпретация для плотностей?

Преобразование Фурье является непрерывной версией ряда Фурье, поскольку никакая плотность не является периодической, а нет выражения, подобного «характеристическому ряду».