Какова вероятность того, что букмекерская контора неправильно оценивает шансы на футбольные матчи?

Английская футбольная команда играет серию матчей против разных противников различной способности. Букмекерская контора предлагает шансы на каждый матч относительно того, будет ли это домашняя победа, выездная победа или ничья. В течение сезона команда провела матчей и сыграла вничью из них, что больше, чем можно было ожидать из шансов.$n$$k$

Какова вероятность того, что букмекерская контора неправильно оценивает шансы на эти матчи, а не просто неудачна? Если букмекерская контора продолжает оценивать оставшиеся матчи команды аналогичным образом, и я держу пари на что каждый из них будет ничьей, какова моя ожидаемая прибыль?$\$1$

Ответ на ваш вопрос зависит от того, какую информацию и предположения вы собираетесь использовать. Это потому, что результат игры является чрезвычайно сложным процессом. Это может быть произвольно усложнено в зависимости от информации о вас:

1. Игроки в конкретной команде - возможно, даже определенные комбинации игроков могут иметь значение.
2. Игроки в других командах
3. Прошлая история лиги
4. Насколько стабильны игроки команды - игроки продолжают отбирать и выбрасывать, или это один и тот же 11.
5. Время, в которое вы делаете ставку (во время игры, до, сколько, сколько раньше, какая информация теряется от ставки до ставки в день?)
6. некоторые другие важные особенности футбола, которые я пропустил.

Шансы, которые дает букмекерская контора, не отражают шансов букмекерских контор. что невозможно, если они вероятности. Букмекер будет уменьшать шансы, когда кто-то делает ставку на ничью, и корректирует их, когда кто-то делает ставку на ничью. Таким образом, шансы являются отражением шансов игроков (которые используют этот букмекер) в целом. Таким образом, не букмекерская контора сама по себе является промахом, это игорный коллектив - или «средний игрок».

Теперь, если вы хотите предположить, что какой-либо «причинный механизм», приводящий к ничьей, остается постоянным в течение сезона (разумно? Вероятно, нет…), тогда возникает простая математическая проблема (но учтите, что для этого нет причин быть «более правильным», чем какое-либо другое упрощающее предположение). Для того, чтобы напомнить нам , что это предположение используется, будет поставлен на стороне кондиционирования вероятностей. Согласно этому предположению биномиальное распределение применяется:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

И мы хотим рассчитать следующее

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

где

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

является задним для . Теперь, в этом случае, совершенно очевидно, что ничья возможна, а может и не произойти, поэтому уместен единообразный априор (если нет дополнительной информации, которую мы хотим включить в результаты сезона). ) и положим . Апостериор затем задается бета-распределением (где - это бета-функция )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Учитывая и вероятность того, что следующее совпадение является ничьей, равна просто поэтому интеграл становится:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

и, следовательно, вероятность просто:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Но обратите внимание, что это зависит от - предположений, которые были сделаны. Вызывайте «ценам шансы» вероятностное обусловливающие какой - либо другой неизвестной сложной информации, скажем . Таким образом, если опубликованные коэффициенты отличаются от приведенной выше доли, то это говорит о том, что и приводят к разным выводам, поэтому оба не могут быть правы относительно «истинного результата» (но оба могут быть правильными при условии предположений, которые каждый сделал ).$A$$B$$A$$B$

УДАР УБИЙЦА

Этот пример показал, что ответ на ваш вопрос сводился к решению, был ли «более точным», чем в описании механизма игры в футбол. Это будет происходить независимо от того , что предложение случается . Мы всегда будем сводиться к вопросу о том, «чьи допущения верны: игорный коллектив или мой?» Этот последний вопрос является в основном вопросом без ответа, пока вы точно не знаете, из чего состоит предложение (или, по крайней мере, некоторые его ключевые особенности). Ибо как вы можете сравнить то, что известно, с тем, чего нет?$A$$B$ $A$ $B$

ОБНОВЛЕНИЕ: фактический ответ :)

Как нахально указал @whuber, я фактически не дал ожидаемого значения здесь - так что эта часть просто завершает эту часть моего ответа. Если предположить, что истинно с оцененными коэффициентами , то вы ожидаете, что в следующей игре получите $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Теперь, если вы предполагаете, что значение основано на той же модели, что и ваша, тогда мы можем точно предсказать, как изменится в будущем. Предположим, что основывался на другом, отличном от однородного, скажем, , тогда соответствующая вероятность равна$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

с ожидаемым возвратом

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Теперь, если мы сделаем «предыдущий вес» где - это длина сезона (это позволит «ошибочным ценообразованию» продолжаться до конца сезона) и установить ожидаемый возврат на ноль, мы получаем:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(ПРИМЕЧАНИЕ: если это не фактическая модель, будет зависеть от того, когда был выполнен этот расчет, поскольку это зависит от который будет изменяться во времени). Теперь мы можем предсказать, как будет скорректирована в будущем, это добавит к знаменателю для каждого совпадения и к числителю, если совпадение было ничьей. Таким образом, ожидаемые шансы после первого матча:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

То есть шансы не сильно изменятся в течение сезона. Используя это приближение, мы получаем ожидаемый доход за оставшуюся часть сезона как:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Но помните, что это основано на чрезмерно упрощенной модели ничьей (примечание: это не обязательно означает, что это будет предсказатель «дерьма»). Не может быть однозначного ответа на ваш вопрос, потому что не было определенной модели и не указана какая-либо предварительная информация (например, сколько людей использует этот букмекер? Каков оборот букмекера? Как мои ставки повлияют на коэффициенты, которые они оценивают?). Единственное, что было указано, - это данные за один сезон, и что для «некоторой неуказанной модели» вероятности несовместимы с теми, которые подразумеваются в оценке шансов.

Букмекерские конторы используют овернайт, поэтому им все равно, какой результат, потому что они выигрывают. Вот почему вы никогда не встретите бедного букмекера. Если букмекерская контора неверно оценивает розыгрыши, ваша способность получать прибыль будет зависеть от шансов, которые предлагал букмекерский контингент, и от того, будет ли полученная прибыль покрывать убыточные времена.