Ожидаемое количество соотношение девочек и мальчиков при рождении

45

Я наткнулся на вопрос в тесте на собеседование на предмет критического мышления. Это выглядит примерно так:

У Zorganian республики есть некоторые очень странные обычаи. Семейные пары хотят иметь только детей женского пола, поскольку только женщины могут наследовать богатство семьи, поэтому, если у них есть ребенок мужского пола, у них остается больше детей, пока у них не появится девочка. Если у них есть девушка, они перестают иметь детей. Каково соотношение девочек и мальчиков в Зоргании?

Я не согласен с модельным ответом, данным автором вопроса, который составляет около 1: 1. Оправданием было то, что любое рождение всегда будет иметь 50% шансов быть мужчиной или женщиной.

Можете ли вы убедить меня более математическим и энергичным ответом если - это число девочек, а B - это количество мальчиков в стране?GE[G]:E[B]G

Мобиус Пицца
источник
3
Вы правы в своем несогласии с модельным ответом, поскольку соотношение рождений M: F отличается от соотношения детей M: F. В реальных человеческих обществах пары, которые хотят иметь только детей женского пола, скорее всего, прибегнут к таким средствам, как детоубийство или усыновление за границей, чтобы избавиться от детей мужского пола, что приводит к соотношению M: F менее 1: 1.
Гейб
10
@Gabe В этом вопросе нет упоминания о детоубийстве, это математическое упражнение, в отличие от тщательного анализа реальной страны, где убийство является обычным явлением. В равной степени реальное соотношение рождений мальчиков и девочек ближе к 51:49 (без учета социальных факторов)
Ричард Тингл
2
Благодаря ответам я теперь понимаю, почему это соотношение будет 1: 1, что для меня изначально кажется противоречивым. Одна из причин моего недоверия и растерянности заключается в том, что я знаю, что в деревнях Китая существуют противоположные проблемы, связанные с слишком высоким соотношением мальчиков и девочек. Я вижу, что реально пары не смогут продолжать размножаться до бесконечности, пока не получат желаемый пол ребенка. В Китае закон разрешает максимум 2 детей для людей, живущих в сельской местности, поэтому в этом случае соотношение будет ближе к 3: 2, чем к 1: 1.
Mobius Pizza
4
@MobiusPizza: Нет, соотношение 1: 1, независимо от того, сколько у вас детей! Причина, по которой в Китае существует другое соотношение, обусловлена ​​социальными факторами, такими как детоубийство, аборты, выборочные по признаку пола, и усыновление за рубежом.
Гейб
3
@newmount Симуляции хороши, но они значат только то, что заложено в них. Отображение только кода без каких-либо объяснений затрудняет определение этих предположений. В отсутствие какого-либо такого обоснования и объяснения никакое количество результатов моделирования не решит вопрос здесь. Что касается «реального мира», то любой, кто заявляет об этом, должен будет подтвердить его данными о человеческом рождении.
whuber

Ответы:

46

Начать без детей

повторить шаг

{

У каждой пары, у которой еще есть дети, есть ребенок. Половина пар имеет мужчин, а половина пар - женщин.

Те пары, у которых есть женщины, прекращают иметь детей

}

На каждом шаге вы получаете четное число мужчин и женщин, а число пар, имеющих детей, уменьшается вдвое (то есть у тех, у которых были женщины, детей на следующем этапе не будет)

Таким образом, в любой момент времени у вас есть равное количество мужчин и женщин, и с каждым шагом количество пар, имеющих детей, уменьшается вдвое. По мере создания большего числа пар повторяется одна и та же ситуация, и при прочих равных условиях население будет содержать одинаковое количество мужчин и женщин.

Martino
источник
6
Я думаю, что это отличный способ объяснить распределение вероятностей, не полагаясь на строгое математическое доказательство.
Л.Бушкин
1
Что мне нравится, так это то, что это также объясняет, что случилось с лишними девочками, которых ожидает ваша интуиция: лишних девушек желают родители (это родители, которые пытаются снова), но эти родители (в целом) никогда успешно не создают избыток девушки.
Бен Джексон
2
Вы могли бы упростить еще больше, сказав: «повторить шаг {кто-то решает, иметь ли ребенка}». Правила, по которым они решают, совершенно не имеют значения, при условии, что каждый производит мальчиков и девочек независимо с одинаковой вероятностью. Нет необходимости даже принимать значение этой вероятности, вы можете просто сказать, что частота в популяции будет такой же, как частота при рождении.
Стив Джессоп
1
@martino Я не верю, что это так, хотя я бы не удивился, если бы была какая-то очень убедительная математика на этот счет. Я считаю, что этот сценарий приводит к нарушению нашего представления о коэффициентах, поскольку ожидаемое количество детей в семье бесконечно. Вы должны скептически относиться к своему ответу из-за общности, с которой люди ответили на ваш вопрос в этой теме.
Jlimahaverford
1
@ Мартино. Ради интереса я просто запустил симуляцию с этим критерием остановки. В 10 000 семей в общей сложности 160 693 469 мальчиков (и это число плюс еще 10 000 девочек) при соотношении 0,9999977735896915. Довольно невероятные вещи.
jlimahaverford
37

Пусть будет количеством мальчиков в семье. Как только у них появляется девушка, они останавливаются, поэтомуИкс

X=0if the first child was a girlX=1if the first child was a boy and the second was a girlX=2если первые двое детей были мальчиками, а третий - девочкойи так далее...

Если - это вероятность того, что ребенок является мальчиком, и если пол не зависит от детей, вероятность того, что в семье окажется k мальчиков, равна P ( X = k ) = p k( 1 - p ) , т.е. иметь k мальчиков, а затем иметь девушку. Ожидаемое число мальчиков в Е Х = Е к = 0 к р к( 1 - р ) =пК

п(Иксзнак равноК)знак равнопК(1-п),
К Отметив, что k = 0 kpk= k = 0 (k+1)pk+1,получаем k = 0 kpk- k = 0 k
EX=k=0kpk(1p)=k=0КпК-ΣКзнак равно0КпК+1,
ΣКзнак равно0КпКзнак равноΣКзнак равно0(К+1)пК+1
, где мы использоваличтоЕк = 0 рк=1/(1-р)при0<р<1(смгеометрической прогрессии).
ΣКзнак равно0КпК-ΣКзнак равно0КпК+1знак равноΣКзнак равно0(К+1)пК+1-ΣКзнак равно0КпК+1знак равноΣКзнак равно0пК+1знак равнопΣКзнак равно0пКзнак равноп1-п
ΣКзнак равно0пКзнак равно1/(1-п)0<п<1

Если , то есть , что E X = 0,5 / 0,5 . То есть в средней семье 1 мальчик. Мы уже знаем , что все семьи имеют 1 девочка, так что соотношение будет в течение долгого времени , даже вне быть 1 / 1 = 1 .пзнак равно1/2ЕИксзнак равно0,5/0,51/1знак равно1

Случайная переменная известна как геометрическая случайная величина .Икс

MånsT
источник
4
Это, конечно, предполагает, что pэто одинаково для всех семей. Если вместо этого мы предположим, что у одних пар больше вероятность рождения мальчиков, чем у других ( т. Е. Их число pвыше), то результат изменится, даже если среднее значение pвсе еще равно 0,5. (Тем не менее, это отличное объяснение базовой базовой статистики.)
Бен Хокинг,
2
@Ben Ваш комментарий содержит ключевую идею. То же самое произошло со мной, поэтому я отредактировал свой вопрос, чтобы включить анализ этой более реалистичной ситуации. Это показывает, что предельное соотношение не обязательно составляет 1: 1.
whuber
1
@BenHocking Действительно! И , как мы знаем , как из современной статистики и классического анализ Лапласа коэффициентов рождаемости, на самом деле не равен 1 / 2 в любом случае. :)п1/2
MånsT
21

Резюме

Простая модель, согласно которой все дети независимо рождаются с вероятностью 50% быть девочками, нереальна и, как оказалось, исключительна. Как только мы рассмотрим последствия различий в результатах среди населения, ответ таков: соотношение девочки и мальчика может быть любым значением, не превышающим 1: 1. (В действительности это, вероятно, все еще будет близко к 1: 1, но это вопрос для анализа данных, чтобы определить.)

Поскольку оба эти противоречивых ответа получены при допущении статистической независимости результатов родов, апелляция к независимости является недостаточным объяснением. Таким образом, представляется, что вариация (в шансах на рождение женщины) является ключевой идеей, стоящей за парадоксом.

Введение

Парадокс возникает, когда мы думаем, что у нас есть веские основания верить во что-то, но сталкиваемся с убедительным аргументом в обратном.

Удовлетворительное разрешение парадокса помогает нам понять, что было правильно и что могло быть неправильно в обоих аргументах. Как часто бывает в случае вероятности и статистики, оба аргумента действительно могут быть действительными: решение будет зависеть от различий между предположениями , которые сделаны неявно. Сравнение этих разных предположений может помочь нам определить, какие аспекты ситуации приводят к разным ответам. Я считаю, что определение этих аспектов - это то, что мы должны ценить больше всего.

Предположения

Как свидетельствуют все ответы размещены до сих пор, то естественно предположить , что женщины родов происходят независимо друг от друга и с постоянными вероятностями от . Хорошо известно, что ни одно из предположений на самом деле не соответствует действительности, но может показаться, что незначительные отклонения от этих предположений не должны сильно влиять на ответ. Покажи нам. Для этого рассмотрим следующую более общую и более реалистичную модель:1/2

  1. В каждой семье вероятность женского рождения является константой р я , независимо от порядка рождения.япя

  2. При отсутствии каких-либо правил остановки ожидаемое число рождений женщин в популяции должно быть близко к ожидаемому числу рождений мужчин.

  3. Все результаты родов (статистически) независимы.

Это еще не полностью реалистичная модель человеческих родов, в которых может изменяться в зависимости от возраста родителей (особенно матери). Тем не менее, он достаточно реалистичен и гибок, чтобы обеспечить удовлетворительное разрешение парадокса, который будет применяться даже к более общим моделям.пя

Анализ

Хотя интересно провести тщательный анализ этой модели, основные моменты становятся очевидными, даже если рассматривается конкретная, простая (но несколько экстремальная) версия. Предположим, что население имеет семей. В половине из них шанса женского рождения +2 / 3 , а в другой половине вероятности женского рождения +1 / 3 . Это явно удовлетворяет условию (2): ожидаемое число рождений женщин и мужчин одинаково.2N2/31/3

Рассмотрим эти первые семей. Давайте рассуждать с точки зрения ожиданий, понимая, что фактические результаты будут случайными и поэтому будут немного отличаться от ожиданий. (Идея следующего анализа была изложена более кратко и просто в оригинальном ответе, который появляется в самом конце этого поста.)N

Пусть - ожидаемое число рождений женщин в популяции N с постоянной вероятностью рождения женщин p . Очевидно , что это пропорционально N и поэтому может быть записано F ( N , р ) = е ( р ) N . Аналогично, пусть m ( p ) N будет ожидаемым числом рождений мужчин.е(N,п)NпNе(N,п)знак равное(п)Nм(п)N

  • Первые семей рождают девочку и останавливаются. Другие ( 1 - р ) N семей воспитывают мальчика и продолжают рожать детей. Это р N девочек и ( 1 - р ) N мальчиков до сих пор.пN(1-п)NпN(1-п)N

  • Остальные семей находятся в том же положении, что и раньше:(1-п)N предположение о независимости (3) подразумевает, что на то, что они испытывают в будущем, не влияет тот факт, что их первенец был сыном. Таким образом, в этих семьях будет на больше девочек и на m ( p ) [ ( 1 - p ) N ] больше мальчиков.f(p)[(1p)N]m(p)[(1p)N]

f(p)Nm(p)N

f(p)N=pN+f(p)(1p)N  and  m(p)N=(1p)N+m(p)(1p)N

с решениями

f(p)=1  and  m(p)=1p1.

Np=2/3f(2/3)N=Nm(2/3)Nзнак равноN/2

Nпзнак равно1/3е(1/3)Nзнак равноNм(1/3)Nзнак равно2N

(1+1)Nзнак равно2N(1/2+2)Nзнак равно(5/2)NN

Е(# девушки# мальчики)2N(5/2)Nзнак равно45,

Правило остановки благоприятствует мальчикам!

п1-пN

2п(1-п)1-2п(1-п),

п010111пзнак равно1/2

разрешение

Если ваша интуиция заключается в том, что остановка у первой девочки должна дать больше мальчиков в популяции, тогда вы правы, как показывает этот пример. Чтобы быть точным, все, что вам нужно, это то, что вероятность рождения девочки варьируется (даже незначительно) среди семей.

«Официальный» ответ, что соотношение должно быть близко к 1: 1, требует нескольких нереалистичных допущений и чувствителен к ним: он предполагает, что не может быть различий между семьями, и все рождения должны быть независимыми.

Комментарии

Ключевая идея, подчеркнутая этим анализом, заключается в том, что различия в составе населения имеют важные последствия. Независимость рождения - хотя это упрощающее предположение, используемое для каждого анализа в этой теме - не разрешает парадокс, потому что (в зависимости от других предположений) оно согласуется как с официальным ответом, так и с его противоположностью.

пяпяпя

Если мы заменим пол каким-либо другим генетическим выражением, то получим простое статистическое объяснение естественного отбора : правило, которое дифференциально ограничивает количество потомков в зависимости от их генетического состава, может систематически изменять пропорции этих генов в следующем поколении. Когда ген не связан с полом, даже небольшой эффект будет размножаться мультипликативно через последовательные поколения и может быстро стать значительно увеличенным.


Оригинальный ответ

У каждого ребенка есть порядок рождения: первенец, второй род и т. Д.

Принимая во внимание равные вероятности рождения мужчин и женщин и отсутствие корреляции между полами, Слабый закон больших чисел утверждает, что соотношение перворожденных женщин и мужчин будет примерно равно 1: 1 . По той же причине соотношение 1: 1 женщин и мужчин будет приблизительно равно 1: 1 и т. Д. Поскольку эти соотношения постоянно составляют 1: 1, общее соотношение также должно составлять 1: 1, независимо от того, какая относительная частота порядков рождения в популяции оказывается.

Whuber
источник
Интересно; По-видимому, это связано с тем, что, хотя ни одно правило не может изменить соотношение по сравнению с естественным соотношением, оно может изменить число получающихся детей, и это число детей зависит от естественного соотношения. Итак, в вашем примере у вас есть две популяции родителей, и они затронуты по-разному. (Тем не менее, это похоже на ситуацию, выходящую за рамки предполагаемой вымышленной страны, которая является скорее математическим упражнением)
Ричард Тингл
пя1/21
1
и вы не должны извиняться, это очень интересный результат (я действительно думал, вау, когда я читал это). Я бы просто предпочел это в виде «Первоначальный результат», «Более реалистичная ситуация». То, как это написано, похоже на мошенничество (что несправедливо, потому что, как я говорю, это очень интересно), потому что я с такой же легкостью могу сказать: «Ну, очевидно, это не 1: 1, потому что мужское рождение более распространено» (я верю из-за наших исторических арендаторов) погибнуть в вооруженном конфликте)
Ричард Тингл
пя0,51
@whuber Спасибо за информативный ответ. Я не понимаю, почему в ваших расчетах вы разделили население на 2 семьи с разной вероятностью рождения девочек. Согласно пункту 1 вашего модельного предположения, p_i должно быть одинаковым для всех семейств. Итак, почему вы разделили население на 2 вида семей?
Мобиус Пицца
14

Рождение каждого ребенка является независимым событием с P = 0,5 для мальчика и P = 0,5 для девочки. Другие детали (такие как семейные решения) только отвлекают вас от этого факта. Ответ, таким образом, заключается в том, что соотношение составляет 1: 1 .

Чтобы пояснить это: представьте, что вместо того, чтобы иметь детей, вы подбрасываете честную монету (P (глав) = 0,5), пока не получите «головы». Допустим, семья А подбрасывает монету и получает последовательность [хвосты, хвосты, головы]. Затем семья B подбрасывает монету и получает хвосты. Теперь, какова вероятность того, что следующий будет головы? Все еще 0,5 , потому что это то, что означает независимость . Если вы сделаете это с 1000 семей (что означает, что появилось 1000 голов), ожидаемое общее количество хвостов будет 1000, потому что каждый бросок (событие) был полностью независимым.

Некоторые вещи не являются независимыми, например, последовательность внутри семьи: вероятность последовательности [головы, головы] равна 0, а не равна [хвостам, хвостам] (0,25). Но так как вопрос не задает об этом, это не имеет значения.

Тим С.
источник
3
Как указано, это неверно. Если бы гендеры были безусловно независимыми, в конечном итоге в семьях было бы столько же последовательностей между девочками, сколько и последовательностей мальчик-мальчик. Есть много последних и никогда не бывших. Существует форма независимости, но это условно на порядок рождения.
whuber
1
@whuber Нас не спрашивают, сколько есть последовательностей девушка-девушка. Только соотношение девочек и мальчиков. Я не утверждал, что последовательность рождений отдельной матерью представляет собой серию независимых событий, таких как подбрасывание монет. Только то, что каждое рождение, в отдельности, является самостоятельным событием.
Тим С.
Вам нужно быть намного яснее об этом. Я упомянул последовательности, чтобы продемонстрировать отсутствие независимости, поэтому вы должны точно сказать, в каком строгом смысле здесь применяется «независимость».
whuber
@whuber События независимы так же, как и броски монет. Я изложил это в своем ответе.
Тим С.
3
@whuber последовательности девочек-девочек появляются, если вы помещаете все рождения в линию; после того, как одна пара заканчивает следующий вход и т. д. и т. д.
Ричард Тингл
6

Представьте, что вы бросаете монету, пока не увидите голову. Сколько хвостов ты подбрасываешь?

п(0 фрак)знак равно12,п(1 хвост)знак равно(12)2,п(2 фрак)знак равно(12)3,,,,

Ожидаемое количество хвостов легко вычисляется *, чтобы быть 1.

Количество головок всегда 1.

* если вам это не понятно, см. «план доказательства» здесь

Glen_b
источник
6

Пары с ровно одной девушкой и без мальчиков являются наиболее распространенными

Причина, по которой все это работает, заключается в том, что вероятность одного сценария, в котором больше девочек, намного больше, чем сценарии, в которых больше мальчиков. И сценарии, в которых намного больше мальчиков, имеют очень низкую вероятность. Конкретный способ его работы проиллюстрирован ниже

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Вы можете в значительной степени увидеть, к чему это приведет в данный момент, общее количество девочек и мальчиков в итоге составит одну.

Ожидаемые девушки от одной парызнак равноΣNзнак равно1(12N)знак равно1
знак равноΣNзнак равно1(N-1N2)знак равно1

Предельные решения от вольфрама

Любое рождение, в какой бы семье он ни был, имеет 50:50 шанс быть мальчиком или девочкой

Все это имеет внутренний смысл, потому что (как бы ни старались пары) вы не можете контролировать вероятность того, что конкретное рождение будет мальчиком или девочкой. Неважно, родился ли ребенок от пары без детей или в семье из ста мальчиков; вероятность 50:50, поэтому, если у каждого отдельного рождения есть шанс 50:50, то вы всегда должны получать половину мальчиков и половину девочек. И не имеет значения, как вы перемешиваете рождение между семьями; Вы не собираетесь влиять на это.

Это работает для любого 1 правила

Поскольку из-за вероятности 50:50 для любого рождения соотношение будет равно 1: 1 для любого (разумного 1 ) правила, которое вы можете придумать. Например, аналогичное правило ниже также работает даже

Пары перестают иметь детей, когда у них появляется девушка или у них двое детей

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

В этом случае общее количество ожидаемых детей вычисляется легче

Ожидаемые девушки от одной парызнак равно0,51+0,251знак равно0,75
знак равно0,251+0,252знак равно0,75

1 Как я уже сказал, это работает для любого разумного правила, которое может существовать в реальном мире. Необоснованным правилом было бы правило, при котором ожидаемых детей на пару было бесконечно. Например, «родители перестают иметь детей только тогда, когда у них в два раза больше мальчиков, чем у девочек», мы можем использовать те же приемы, что и выше, чтобы показать, что это правило дает бесконечных детей:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Затем мы можем найти количество родителей с конечным числом детей

Ожидаемое количество родителей с конечными детьмизнак равноΣмзнак равно1(11/(3м)2)знак равноπ254знак равно0,18277...,

Предельные решения от вольфрама

Исходя из этого, мы можем установить, что 82% родителей будут иметь бесконечное количество детей; с точки зрения градостроительства это, вероятно, вызовет трудности и покажет, что это условие не может существовать в реальном мире.

Ричард Тингл
источник
3
То, что рождения не являются независимыми, видно из изучения последовательностей рождений: последовательность девочка-девочка никогда не появляется, в то время как последовательности мальчик-мальчик происходят часто.
whuber
1
@whuber Я понимаю вашу точку зрения (хотя, возможно, решение о том, что ребенок вообще зависит, а не о результате самого события), возможно, было бы лучше сказать, что «вероятность рождения мальчика в будущем не зависит». от всех прошлых рождений "
Ричард Тингл
Да, я думаю, что есть способ спасти использование независимости здесь. Но это - я думаю - доходит до сути дела, поэтому, похоже, что для удовлетворения просьбы ОП о «энергичной» (строгой?) Демонстрации необходимы некоторые осторожные рассуждения по этому вопросу.
whuber
@whuber Честно говоря, первый абзац - это бит ручной работы, а остальные абзацы (и, в частности, ограничения) должны быть суровыми
Ричард Тингл
Там нет никаких аргументов - но последний материал уже был описан таким же образом в ответах на stats.stackexchange.com/a/93833 , stats.stackexchange.com/a/93835 и stats.stackexchange.com/a/93841 ,
whuber
5

Вы также можете использовать симуляцию:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio
Aghila
источник
1
Результаты моделирования хороши тем, что они могут дать нам некоторое утешение, мы не допустили серьезной ошибки в математическом выводе, но они далеки от требуемой строгой демонстрации. В частности, когда могут произойти редкие события, которые вносят большой вклад в ожидание (например, семья с 20 мальчиками до появления девочки - что вряд ли произойдет при моделировании всего 10 000 семей), тогда моделирования могут быть нестабильными или даже просто неправильно, независимо от того, как долго они повторяются.
whuber
Признание геометрического распределения числа мальчиков в семье является ключевым шагом к решению этой проблемы. Попробуйте:mean(rgeom(10000, 0.5))
AdamO
5

Составление плана помогло мне лучше понять, как соотношение рождаемости (предполагается, что оно составляет 1: 1) и соотношение численности детей будет равно 1: 1. В то время как в некоторых семьях было бы несколько мальчиков, но только одна девочка, из-за чего я сначала думал, что мальчиков будет больше, чем девочек, число этих семей не будет превышать 50% и будет уменьшаться вдвое с каждым дополнительным ребенком, в то время как количество семей, состоящих только из одной девочки, составило бы 50%. Таким образом, число мальчиков и девочек будет сбалансировано друг с другом. Смотрите итоги 175 внизу. Соотношение детей

Лоу Радд
источник
2

То, что вы получили, было самым простым и правильным ответом. Если вероятность того, что новорожденный ребенок является мальчиком, равна p, и дети неправильного пола не встречаются в результате несчастных случаев, то не имеет значения, принимают ли родители решение о рождении большего количества детей в зависимости от пола ребенка. Если число детей N, а N велико, можно ожидать около p * N мальчиков. Нет необходимости в более сложных расчетах.

Есть, конечно, другие вопросы, например, «какова вероятность того, что младший ребенок в семье с детьми - мальчик», или «какова вероятность того, что самый старший ребенок в семье с детьми - мальчик». (Один из них имеет простой правильный ответ, другой имеет простой неправильный ответ, и получить правильный ответ сложно).

gnasher729
источник
2

Позволять

Ω= {(G), (В, С), (В, В, С),...}

быть пробным пространством и пусть

ИКС: Ωрω|ω|-1

ωЕ (Х)

E (X) =ΣNзнак равно1(н-1)0,5N= 1

Как правило, ожидаемое значение для девочек равно 1. Таким образом, соотношение также равно 1.

user3451767
источник
2

Это вопрос с подвохом. Соотношение остается неизменным (1: 1). Правильный ответ заключается в том, что это не влияет на коэффициент рождаемости, но влияет на число детей на семью с ограничивающим фактором в среднем 2 рождения на семью.

Этот тип вопросов вы можете найти в логическом тесте. Ответ не о соотношении рождаемости. Это отвлечение.

Это не вопрос вероятности, а вопрос когнитивного мышления. Даже если вы ответили соотношением 1: 1, вы все равно не прошли тест.

Эндрю - OpenGeoCode
источник
Я недавно отредактировал свой ответ, чтобы показать, что решение не обязательно 1: 1, что явно опровергает ваши утверждения.
whuber
Я прочитал твой ответ. Вы ввели предикат, который не указан в проблеме (разница в уровне рождаемости женщин). Нет ничего в проблеме, которая утверждает, что Zorganian Republic является представителем человеческой популяции или даже людей.
Эндрю - OpenGeoCode
1
Это правильно - но в равной степени нет ничего, что оправдывало бы слишком упрощенное предположение о том, что все вероятности рождения одинаковы. Предположения должны быть сделаны для того, чтобы дать объективный, оправданный ответ, поэтому как минимум хороший ответ будет явным о сделанных им предположениях и обеспечит поддержку этих предположений. Утверждение «это не вопрос вероятности» не решает проблемы, но полностью игнорирует их.
whuber
@whuber - коэффициент рождаемости в этой проблеме является инвариантом. Вариант в проблеме - количество рождений на семью. Вопрос отвлекает, он не является частью проблемы. <br/> Боковое мышление - это способность творчески мыслить или «нестандартно», как это иногда называют в бизнесе, использовать свое вдохновение и воображение для решения проблем, рассматривая их с неожиданной точки зрения. Боковое мышление включает в себя отказ от очевидного, отказ от традиционных способов мышления и отбрасывание предвзятых мнений. [fyi> Я главный ученый в лаборатории]
Эндрю - OpenGeoCode
1
Тогда вы, возможно, упустили из виду ключевой момент в моем ответе: его предположения также сохраняют усредненный по населению шанс на инвариантность рождения женщины на уровне 1: 1 (определенным образом, который, я надеюсь, был четко описан). Я бы сказал, что в любом разрешении парадокса, в котором критически рассматриваются предположения, присутствует существенное «боковое мышление»: для того, чтобы сделать предположения в первую очередь, требуются воображение и хорошие аналитические навыки. Отклонение любого вопроса прямо как простой «трюк», как вы делаете здесь, показалось бы противоположным продвижению или празднованию такого мышления.
whuber
2

Я показываю код, который я написал для симуляции Монте-Карло (семейства 500x1000) с использованием программного обеспечения MATLAB. Пожалуйста, внимательно изучите код, чтобы я не ошибся.

Результат генерируется и наносится на график ниже. Это показывает, что моделируемая вероятность рождения девочки очень хорошо согласуется с основной вероятностью естественного рождения независимо от правила остановки для диапазона естественной вероятности рождения.

введите описание изображения здесь

Играя с кодом, легче понять один момент, который я раньше не делал - как указывают другие, правило остановки - это отвлечение. Правило остановки влияет только на количество семей с фиксированным населением или, с другой точки зрения, на число рождений детей с фиксированным количеством семей. Пол определяется исключительно броском костей, и, следовательно, соотношение или вероятность (которая не зависит от количества детей) будет зависеть исключительно от естественного отношения рождения мальчика к девочке.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])
Мобиус Пицца
источник
2

яTчасИкся0,5 .

Е[ΣяИкся]знак равноΣяЕ[Икся]знак равно0,5NN - количество детей в стране).

Е[Σя(1-Икся)]знак равноΣяЕ[1-Икся]знак равно0,5N

Независимость рождений не имеет значения для расчета ожидаемых значений.


По поводу ответа @ whuber, если есть различия в предельной вероятности в разных семьях, соотношение становится неравномерным по отношению к мальчикам из-за того, что в семьях с более высокой вероятностью мальчиков больше детей, чем в семьях с меньшей вероятностью, что приводит к усилению эффекта ожидаемое значение суммы для мальчиков.

Innuo
источник
2

Я также самостоятельно запрограммировал симуляцию в matlab, прежде чем посмотреть, что сделали другие. Строго говоря, это не MC, потому что я запускаю эксперимент только один раз. Но одного раза достаточно для получения результатов. Вот что дает мой симулятор. Я не отстаиваю вероятность того, что рождение будет примитивом р = 0,5. Я позволил вероятности рождения изменяться в диапазоне Pr (Boys = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Мои результаты показывают, что, поскольку вероятность отклоняется от р = 0,5, соотношение полов отличается от 1: в ожидании соотношение полов - это просто отношение вероятности рождения мальчика к вероятности рождения девочки. То есть это геометрическая случайная переменная, которая была идентифицирована ранее @ månst. Это то, что я считаю, оригинальный плакат был интуитивным.

Мои результаты близко имитируют то, что сделал вышеупомянутый плакат с кодом Matlab, сопоставляя соотношения полов с вероятностью 0,45, 0,50 и 0,55, что мальчик родился. Я представляю свой, поскольку я использую немного другой подход, чтобы получить результаты с более быстрым кодом. Чтобы выполнить сравнение, я пропустил раздел кода vec = vec (randperm (s, N)), поскольку s не определен в их коде, и я не знаю первоначального намерения этой переменной (этот раздел кода также кажется излишним - как изначально заявлено).

Я публикую свой код

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Следующий график ожидается с учетом строгого закона большого числа. Я воспроизвожу его, но важен второй график.

введите описание изображения здесь

Здесь вероятность рождения любого пола ребенка, отличная от 0,5, изменит соотношение полов в общей популяции. Предполагая, что рождения независимы (но не выбор продолжать воспроизводить), в каждом раунде условного воспроизводства вероятность населения определяет общий состав результатов рождений мальчика и девочки. Таким образом, как уже упоминали другие, правило остановки в проблеме не имеет значения для исхода численности населения, как ответил автор, который определил это как геометрическое распределение.

введите описание изображения здесь

Для полноты, на что влияет правило остановки, так это количество циклов воспроизводства в популяции. Поскольку я запускаю эксперимент только один раз, график немного неровный. Но интуиция есть: для данного размера популяции, поскольку вероятность рождения девочки увеличивается, мы видим, что семьям нужно меньше циклов размножения, чтобы получить желаемую девочку до того, как все население прекратит размножаться (очевидно, количество раундов будет зависеть от численность населения, поскольку это механически увеличивает вероятность того, что в семье будет, например, 49 мальчиков, прежде чем они получат свою первую девочку)

введите описание изображения здесь

Сравнение моих рассчитанных соотношений полов:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

и из предыдущего постера с кодом Matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Это эквивалентные результаты.

Альберто Рамирес
источник
1

Это зависит от количества семей.

Икспзнак равно0,5

п(Иксзнак равноИкс)знак равно0,5Икс,Иксзнак равно1,2,3 ...
Е(Икс)знак равно2

N

NΣИкся

ΣИкся/NЕ(Икс)знак равно2N .

TTзнак равноΣИксяT

п(Tзнак равноT)знак равноСN-1T-10,5T,Tзнак равноN,N+1 ...

Е[NΣИкся]знак равноЕ[NT]знак равноΣTзнак равноNNTСN-1T-10,5Tзнак равно2F1(N,1,N+1,-1)
2F1 - гипергеометрическая функция.

2F1(N,1,N+1,-1)

Рэнди Лай
источник