Что такое медиана нецентрального t-распределения?

Какова медиана нецентрального t-распределения с нецентральным параметром ? Это может быть безнадежным вопросом, потому что CDF выглядит как бесконечная сумма, и я не могу найти никакой информации об обратной функции CDF.$\delta \ne 0$

Вы можете приблизить это.

Например, я сделал следующие нелинейные подгонки для (степени свободы) от 1 до 20 и (параметр нецентральности) от 0 до 5 (с шагом 1/2). Позволять$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

а также

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

Затем оценивает медиану в пределах 0,15 для , 0,03 для , 0,015 для и 0,007 для 4,5 .$g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Оценка была сделана путем вычисления значений и для каждого значения от 1 до 20, а затем отдельно подгонки и к . Я проверил графики и чтобы определить подходящую функциональную форму для этих припадков.$a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

Вы можете добиться большего успеха, сосредоточившись на интервалах этих параметров, которые вас интересуют. В частности, если вас не интересуют действительно небольшие значения вы можете легко улучшить эти оценки, вероятно, с точностью до 0,005.$\nu$

Вот графики зависимости медианы от для , наиболее сложного случая и отрицательных остатков (истинная медиана минус приблизительное значение) и :$\delta$$\nu=1$ $\delta$

Остатки действительно малы по сравнению с медианой.

Кстати, для всех, кроме самых маленьких степеней свободы, медиана близка к параметру нецентральности. Вот график медианы для от 0 до 5 и (рассматривается как реальный параметр) от 1 до 20.$\delta$$\nu$

Для многих целей достаточно использовать для оценки медианы. Вот график ошибки (относительно ), допущенной в предположении, что медиана равна (для от 2 до 20).$\delta$$\delta$$\delta$$\nu$

Если вас интересуют (степени свободы) ν> 2, следующее асимптотическое выражение [полученное из интерполяционного приближения к нецентральному квантилю студентов-t, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] достаточно точен для многих целей:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

При ν> 2 максимальная величина смещения вышеприведенного выражения относительно нецентральной средней t-студента составляет около 2% и быстро уменьшается с увеличением ν. Контурная диаграмма показывает смещение асимптотического приближения относительно нецентральной t-медианы студента: