Что такое медиана нецентрального t-распределения?

10

Какова медиана нецентрального t-распределения с нецентральным параметром ? Это может быть безнадежным вопросом, потому что CDF выглядит как бесконечная сумма, и я не могу найти никакой информации об обратной функции CDF.δ0

shabbychef
источник

Ответы:

11

Вы можете приблизить это.

Например, я сделал следующие нелинейные подгонки для (степени свободы) от 1 до 20 и (параметр нецентральности) от 0 до 5 (с шагом 1/2). Позволятьνδ

a(ν)=0.963158+0.051726ν0.705428+0.0112409log(ν),

b(ν)=0.0214885+0.4064190.659586+ν+0.00531844log(ν),

а также

g(ν,δ)=δ+a(ν)exp(b(ν)δ)1.

Затем оценивает медиану в пределах 0,15 для , 0,03 для , 0,015 для и 0,007 для 4,5 .gν=1ν=2ν=3ν=4,5,,20

Оценка была сделана путем вычисления значений и для каждого значения от 1 до 20, а затем отдельно подгонки и к . Я проверил графики и чтобы определить подходящую функциональную форму для этих припадков.abνabνab

Вы можете добиться большего успеха, сосредоточившись на интервалах этих параметров, которые вас интересуют. В частности, если вас не интересуют действительно небольшие значения вы можете легко улучшить эти оценки, вероятно, с точностью до 0,005.ν

Вот графики зависимости медианы от для , наиболее сложного случая и отрицательных остатков (истинная медиана минус приблизительное значение) и :δν=1 δ

Нецентральная t-медиана, дельта от 0 до 5, nu = 1

Нецентральные t-медианные остатки, дельта от 0 до 5, nu = 1

Остатки действительно малы по сравнению с медианой.

Кстати, для всех, кроме самых маленьких степеней свободы, медиана близка к параметру нецентральности. Вот график медианы для от 0 до 5 и (рассматривается как реальный параметр) от 1 до 20.δν

Нецентральная t-медиана против нуля и дельты (в псевдо 3D)

Для многих целей достаточно использовать для оценки медианы. Вот график ошибки (относительно ), допущенной в предположении, что медиана равна (для от 2 до 20).δδδν

(Медиана - дельта) / дельта против дельты и ню

Whuber
источник
3
+1, классно. Как вы пришли к функциональной форме для ? g
mpiktas
1
@mpiktas Комбинация просмотра формул для CDF и построения медианы против . Экспонента, с двумя параметрами, в действительности совпадает с квадратичным полиномом (с тремя параметрами). ν
whuber
5

Если вас интересуют (степени свободы) ν> 2, следующее асимптотическое выражение [полученное из интерполяционного приближения к нецентральному квантилю студентов-t, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] достаточно точен для многих целей:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

При ν> 2 максимальная величина смещения вышеприведенного выражения относительно нецентральной средней t-студента составляет около 2% и быстро уменьшается с увеличением ν. Контурная диаграмма показывает смещение асимптотического приближения относительно нецентральной t-медианы студента:

Дэвид Бартли
источник