Обозначим через биномиальную функцию распределения (DF) с параметрами и вычисленными при :
и пусть обозначает пуассоновский DF с параметром оцененным при :
B(n,p,r)n∈Np∈(0,1)r∈{0,1,…,n}
B(n,p,r)=∑i=0r(ni)pi(1−p)n−i,
F(ν,r)a∈R+r∈{0,1,2,…}F(a,r)=e−a∑i=0raii!.
Рассмотрим p→0 , и пусть n будет определено как ⌈a/p−d⌉ , где d - постоянная порядка 1 . Поскольку np→a , функция B(n,p,r) сходится к F(a,r) для всех r , как хорошо известно.
С приведенным выше определением для n меня интересует определение значений a для которых
B(n,p,r)>F(a,r)∀p∈(0,1),
и аналогично тем, для которых
B(n,p,r)<F(a,r)∀p∈(0,1).
Я был в состоянии доказать , что первое неравенство имеет место для существенно меньше , чем
г ; более конкретно, для ниже определенного связанного
г (г) , с
г (г) <г . Аналогичным образом , второе неравенство имеет место для
в достаточной степени больше , чем
г , то есть для
аarag(r)g(r)<raraбольше определенной границы
h(r) , причем
h(r)>r . (Выражения границ
g(r) и
h(r) здесь неуместны. Я предоставлю подробности всем, кто интересуется.) Однако численные результаты показывают, что эти неравенства справедливы для менее строгих границ, то есть для
a близких к
r , чем я могу доказать.
Итак, я хотел бы знать, есть ли некоторая теорема или результат, который устанавливает, при каких условиях выполняется каждое неравенство (для всех p ); то есть когда биномиальный DF гарантированно будет выше / ниже своего предельного пуассоновского DF. Если такой теоремы не существует, любая идея или указатель в правильном направлении будут оценены.
Обратите внимание, что аналогичный вопрос, сформулированный с точки зрения неполных функций бета и гамма, был размещен на math.stackexchange.com, но не получил ответа.
Ответы:
Что касается следующего:
среднее биноминальногоnp
дисперсияnp(1−p)
среднее значение пуассоновского расстояния есть , которое мы можем представить какλ n×p
дисперсия Пуассона такая же, как среднее
Теперь, если Пуассон является пределом для бинома с параметрами и , так что увеличивается до бесконечности, а уменьшается до нуля, а их произведение остается постоянным, то, предполагая, что и не сходятся к своим соответствующим пределам, выражение всегда больше, чем , поэтому дисперсия бинома меньше, чем дисперсия пуассона. Это будет означать, что Бином ниже в хвостах и выше в других местах.n p n p n p np np(1−p)
источник