Упражнение 2.2 «Элементы статистического обучения»

Учебник сначала генерирует некоторые 2-классовые данные через:

который дает:

и тогда он спрашивает:

Я пытаюсь решить эту проблему, сначала смоделировав это с помощью этой графической модели:

где - метка, - индекс выбранного среднего значения , а - точка данных. Это даст$c$$h\,(1\le h \le 10)$$m_h^c$$x$

$$\begin{align*} \Pr(x\mid m_h^c) =& \mathcal{N}(m_h^c,\mathbf{I}/5)\\ \Pr(m_h^c\mid h,c=\mathrm{blue}) =& \mathcal{N}((1,0)^T,\mathbf{I})\\ \Pr(m_h^c\mid h,c=\mathrm{orange}) =& \mathcal{N}((0,1)^T,\mathbf{I})\\ \Pr(h) =& \frac{1}{10}\\ \Pr(c) =& \frac{1}{2} \end{align*}$$

С другой стороны, граница является . С байесовским правилом мы имеем$\{x:\Pr(c=\mathrm{blue}\mid x)=\Pr(c=\mathrm{orange}\mid x)\}$

$$\begin{align*} \Pr(c\mid x) =& \frac{\Pr(x\mid c)\Pr(c)}{\sum_c\Pr(x\mid c)\Pr(c)}\\ \Pr(x\mid c) =& \sum_h\int_{m_h^c}\Pr(h)\Pr(m_h^c\mid h,c)\Pr(x\mid m_h^c) \end{align*}$$

Но позже я обнаружил, что постановка задачи симметрична, так что это может привести к в качестве границы. Если задача задает границу, когда обусловлены, уравнение будет включать параметров, которые, я думаю, вряд ли будут целью упражнения.м с ч$x=y$$m_h^c$$40$

Так я что-то неправильно понимаю? Спасибо.

Я не думаю, что вы должны найти аналитическое выражение для границы решения Байеса, для данной реализации . Точно так же я сомневаюсь, что вы должны получить границу распределения , так как это просто по симметрии, как вы заметили.м к х = $m_k$$m_k$$x=y$

Я думаю, что вам нужно показать, что это программа, которая может вычислить границу решения для данной реализации . Это может быть сделано путем установки сетки значений и , вычисления условных плотностей классов и нахождения точек, где они равны. х $m_k$$x$$y$

Этот код является ударом по нему. На самом деле, в IIRC есть код для вычисления границы решения в современной прикладной статистике с помощью S , но сейчас у меня нет такой возможности.

# for dmvnorm/rmvnorm: multivariate normal distribution
library(mvtnorm)

# class-conditional density given mixture centers
f <- function(x, m)
{
    out <- numeric(nrow(x))
    for(i in seq_len(nrow(m)))
        out <- out + dmvnorm(x, m[i, ], diag(0.2, 2))
    out
}

# generate the class mixture centers
m1 <- rmvnorm(10, c(1,0), diag(2))
m2 <- rmvnorm(10, c(0,1), diag(2))
# and plot them
plot(m1, xlim=c(-2, 3), ylim=c(-2, 3), col="blue")
points(m2, col="red")

# display contours of the class-conditional densities
dens <- local({
    x <- y <- seq(-3, 4, len=701)
    f1 <- outer(x, y, function(x, y) f(cbind(x, y), m1))
    f2 <- outer(x, y, function(x, y) f(cbind(x, y), m2))
    list(x=x, y=y, f1=f1, f2=f2)
})

contour(dens$x, dens$y, dens$f1, col="lightblue", lty=2, levels=seq(.3, 3, len=10),
        labels="", add=TRUE)

contour(dens$x, dens$y, dens$f2, col="pink", lty=2, levels=seq(.3, 3, len=10),
        labels="", add=TRUE)

# find which points are on the Bayes decision boundary
eq <- local({
    f1 <- dens$f1
    f2 <- dens$f2
    pts <- seq(-3, 4, len=701)
    eq <- which(abs((dens$f1 - dens$f2)/(dens$f1 + dens$f2)) < 5e-3, arr.ind=TRUE)
    eq[,1] <- pts[eq[,1]]
    eq[,2] <- pts[eq[,2]]
    eq
})
points(eq, pch=16, cex=0.5, col="grey")

---

Результат:

На самом деле, книга действительно предлагает аналитическое решение этой проблемы. И да, вы должны обусловить границы, но не на 40 средствах: вы никогда не узнаете их точно. Вместо этого вы должны указать 200 точек данных, которые вы увидите. Таким образом, вам понадобится 200 параметров, но благодаря суммированию ответ не выглядит слишком сложным.

Я бы никогда не смог вывести эту формулу, поэтому я возьму на себя ответственность только за то, что понял, что аналитическое решение не должно быть уродливым, и затем ищу его в Google. К счастью, это предусмотрено авторами некоторые хорошие люди, страницы 6-7 .

Жаль, что я не наткнулся на код выше; только что закончил создание альтернативного кода ниже ... для чего это стоит

set.seed(1)
library(MASS)

#create original 10 center points/means for each class 
I.mat=diag(2)
mu1=c(1,0);mu2=c(0,1)
mv.dist1=mvrnorm(n = 10, mu1, I.mat)
mv.dist2=mvrnorm(n = 10, mu2, I.mat)

values1=NULL;values2=NULL

#create 100 observations for each class, after random sampling of a center point, based on an assumed bivariate probability distribution around each center point  
for(i in 1:10){
  mv.values1=mv.dist1[sample(nrow(mv.dist1),size=1,replace=TRUE),]
  sub.mv.dist1=mvrnorm(n = 10, mv.values1, I.mat/5)
  values1=rbind(sub.mv.dist1,values1)
}
values1

#similar as per above, for second class
for(i in 1:10){
  mv.values2=mv.dist2[sample(nrow(mv.dist2),size=1,replace=TRUE),]
  sub.mv.dist2=mvrnorm(n = 10, mv.values2, I.mat/5)
  values2=rbind(sub.mv.dist2,values2)
}
values2

#did not find probability function in MASS, so used mnormt
library(mnormt)

#create grid of points
grid.vector1=seq(-2,2,0.1)
grid.vector2=seq(-2,2,0.1)
length(grid.vector1)*length(grid.vector2)
grid=expand.grid(grid.vector1,grid.vector2)



#calculate density for each point on grid for each of the 100 multivariates distributions
prob.1=matrix(0:0,nrow=1681,ncol=10) #initialize grid
for (i in 1:1681){
  for (j in 1:10){
    prob.1[i,j]=dmnorm(grid[i,], mv.dist1[j,], I.mat/5)  
  }
}
prob.1
prob1.max=apply(prob.1,1,max)

#second class - as per above
prob.2=matrix(0:0,nrow=1681,ncol=10) #initialize grid
for (i in 1:1681){
  for (j in 1:10){
    prob.2[i,j]=dmnorm(grid[i,], mv.dist2[j,], I.mat/5)  
  }
}
prob.2
prob2.max=apply(prob.2,1,max)

#bind
prob.total=cbind(prob1.max,prob2.max)
class=rep(1,1681)
class[prob1.max<prob2.max]=2
cbind(prob.total,class)

#plot points
plot(grid[,1], grid[,2],pch=".", cex=3,col=ifelse(class==1, "coral", "cornflowerblue"))

points(values1,col="coral")
points(values2,col="cornflowerblue")

#check - original centers
# points(mv.dist1,col="coral")
# points(mv.dist2,col="cornflowerblue")