Если бы теннисный матч был одним большим сетом, сколько игр дали бы одинаковую точность?

У тенниса есть своеобразная трехуровневая система подсчета очков, и мне интересно, имеет ли это какую-либо статистическую выгоду с точки зрения матча как эксперимента по определению лучшего игрока.

Для тех, кто незнаком, в нормальных правилах игра выигрывается с первым до 4 очков, при условии, что у вас преимущество в 2 очка (то есть, если вы выигрываете со счетом 4: 2, но при 4: 3 вам нужно еще 1 очко, и сохраняйте идти, пока один игрок не 2 впереди).

В таком случае набор - это набор игр, и набор выигрывает от первого до 6, опять же, выигрывая на 2, за исключением того, что в этот раз вместо продолжения (вместо последнего Уимблдонского и т. Д. Играется особая игра с разборкой). ..)

Матч выигрывается с 1 по 2 или 3 сета в зависимости от соревнования.

Теперь теннис также странен в том, что игры несправедливы. Для любой заданной точки сервер имеет огромное преимущество, поэтому каждую игру сервер чередует.

В игре с тай-брейком подача чередуется после каждого очка, и она составляет первые 7 очков, опять же, с лидерством в 2 очка.

Предположим, что у игрока A есть вероятность выиграть очко на своей подаче и при получении . $p_s$ $p_r$

Вопрос в том, что мы

A) только что сыграл в теннис в большом матче «лучшие из N игр», сколько игр даст ту же точность, что и в обычном лучшем теннисе из 5 сетов

Б) Только что играл в теннис как игра с большим тай-брейком, сколько очков дало бы ту же точность, что и обычный лучший теннис из 5 сетов?

Очевидно, что эти ответы будут зависеть от значений и , поэтому было бы также полезно знать, $p_s$ $p_r$

C) Каково ожидаемое количество игр и очков, сыгранных в обычном теннисе, при условии постоянных , $p_s$ $p_r$

Определение «Точность»

Если предположить, что мастерство обоих игроков остается постоянным, то, если они играли в течение бесконечного промежутка времени, то тот или иной игрок выиграл бы почти наверняка, независимо от формата игры. Этот игрок является «правильным» победителем. Я уверен, что правильным победителем является игрок, для которого . $p_r+p_s > 1$

Лучшим форматом игры является тот, который чаще производит правильного победителя при одинаковом количестве сыгранных очков или наоборот дает правильного победителя с равной вероятностью за несколько сыгранных очков.

probability inference games Corone
источник

Только 5-й сет не имеет тай-брейка на Уимблдоне, Открытом чемпионате Австралии и Открытом чемпионате Франции. Первые 4 сета играются с тай-брейками.

mpiktas

Что именно вы подразумеваете под «точностью»? Вы имеете в виду что-то вроде "как часто победит лучший игрок?" В любом случае вам нужно четыре параметра, а не два; вам нужны

для каждого игрока, хотя

и наоборот. Если какой-то клубный игрок играет в игрока мирового класса, то, возможно,

. Я думаю, что самый простой способ выяснить это было бы с помощью какого-либо компьютерно-интенсивного метода. Вы можете определить это аналитически, но расчеты станут интенсивными.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

Питер Флом - Восстановить Монику

Я думал, что связь между

и навыком игрока может быть исключена, поскольку мы просто хотим сравнить методы измерения. Т.е. для любого данного совпадения, если

тогда игрок 1 должен выиграть (то есть его средняя способность выиграть очко превышает 50%). Лучший турнир достигает этого чаще.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

Корона

Под «одинаковой точностью» вы подразумеваете, что общая вероятность выигрыша данного игрока одинакова в обоих форматах (для фиксированных

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

Майкл МакГоуэн

Ответы:

Если вы играете в игры до очков, где вы должны выиграть , вы можете предположить, что игроки играют 6 очков. Если ни один из игроков не выигрывает со счетом , то счет становится равным , а затем вы играете пары очков, пока один из игроков не выиграет оба. Это означает, что шанс выиграть игру до очков, когда ваш шанс выиграть каждое очко равен , равен $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$

В мужской игре высшего уровня может быть около для сервера. (Было бы если бы мужчины не расслабились на второй подаче.) Согласно этой формуле, шанс удержать подачу составляет около . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Предположим, вы играете на тай-брейке до очков. Можно предположить, что очки разыгрываются парами, где каждый игрок обслуживает одну из каждой пары. Кто служит первым, не имеет значения. Вы можете предположить, что игроки играют очков. Если они связаны в этой точке, то они играют пару, пока один игрок не выиграет обе пары, что означает, что условный шанс на выигрыш равен . Если я правильно рассчитать, шанс выиграть тай-брейк до $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$ очки

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

Далее рассмотрим набор. Неважно, кто подает первым, что удобно, потому что в противном случае нам пришлось бы рассмотреть вопрос о выигрыше сета, имея следующую подачу, вместо того, чтобы выиграть сет без сохранения подачи. Чтобы выиграть сет из игр, вы можете представить, что сначала играют игр. Если счет сыграйте еще игры. Если они не определят победителя, то сыграйте в тай-брейк или в пятом сете просто повторите игру в пары. Пусть будет вероятностью удержания подачи, и пусть $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

$5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

Это говорит о том, что игра одного гигантского сета не более эффективна, чем лучший из 5 матчей, но игра одного гигантского тай-брейка была бы более эффективной, по крайней мере, для близко подобранных соперников, у которых есть преимущество в подаче.

$51\%$

$13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

$13$ $29$ $29$

$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ хвосты, у вас есть доказательства того, что головы чаще, чем хвосты, а не то, что хвосты чаще, чем головы. Таким образом, лучший из трех матчей неэффективен, потому что он тратит впустую информацию. Серия матчей требует больше данных в среднем, потому что иногда она приносит победу игроку, который выиграл меньше игр.

Дуглас Заре
источник

Абсолютно невероятно! Есть ли значок для самого большого латексного выражения? Я не понимаю вывод - конечно, 25 игр меньше, чем обычно играют? Если до пятого сета вы играете не менее 30 игр, и даже выигрыш 6: 4 6: 4 6: 4 составляет 30 игр?

Corone

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

Ах да, извините, имеет смысл. Отличный ответ.

Corone

L A T E X

$\LaTeX$

В этой статье приведен некоторый анализ тай-брейков, и предпочитают ли они более мощные серверы: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

Дуглас Заре,