Как найти предельное распределение от совместного распределения с многовариантной зависимостью?

10

Одна из проблем в моем учебнике состоит в следующем. Двумерный стохастический непрерывный вектор имеет следующую функцию плотности:

fX,Y(x,y)={15xy2if 0 < x < 1 and 0 < y < x0otherwise

Покажите, что функции предельной плотности и :f YfXfY

fX(x)={5x4if 0 < x < 10otherwise

fY(y)={152y2(1y2)if 0 < y < 10otherwise

Я понимаю, как вычисляется функция плотности путем интегрирования от до отношению к . Однако я полностью потерялся на , откуда исходит? Если я интегрирую от до по то получу только , и почему диапазон ?f X , Y 0 x y f Y ( 1 - y 2 ) 0fXfX,Y0xyfY(1y2)0x 151x 0<у<1152y20<y<1

Я получил поддержку , все значения, где , окрашены в синий цвет:f X , Y > 0X,YfX,Y>0

Поддержка $ X, Y $

soren.qvist
источник
1
Это может помочь вам нарисовать картину поддержки (которая является набором для которого ). Это должно немедленно ответить на некоторые ваши вопросы. ( x , y ) f ( x , y ) 0(X,Y)(x,y)f(x,y)0
whuber
@whuber Хорошо, так что я получил поддержку и думаю, что понимаю, почему это 0 <y <1, потому что x определен только в 0 <x <1, и, так как 0 <y <x, мы, естественно, имеем только y определяется от 0 до 1, правильно? Но я все еще не понимаю (1-й ^ 2) часть.
soren.qvist
3
Подсказка: предельная плотность является интегралом от который при фиксированном значении , , отличен от нуля только для тех удовлетворяющих . То есть и именно здесь часть приходит. е X , Y ( х , у ) у 0 < у < 1 х у < х < 1 е У ( у ) = - F X , Y ( х , у ) д х = 1 у 15 х у 2 д х ( 1 - уfY(y)fX,Y(x,y)y0<y<1xy<x<1
fY(y)=fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx
(1y2)
Дилип Сарвате
Спасибо за подсказку, Дилип, боюсь, я не до конца понимаю. «.. для фиксированного значения , , отлично от нуля только для тех удовлетворяют ». Вы имеете в виду синюю область на графике? 0 < у < 1 х у < х < 1y0<y<1xy<x<1
soren.qvist
1
@ soren.qvist Да. Я имею в виду синюю область на графике. является интегралом (площадь под кривой) из функции от , которая имеет значение , если находится в пределах от и (синяя область) и в противном случае. Повторите эти действия для других фиксированных значений и обратите внимание, что каждый раз, когда числовое значение оказывается таким же числом, которое получается при «включении» выбранного значения в выражениеx ( 15 ( 0,4 ) 2 ) x = 2,4 x x 0,4 1 0 y f Y ( y ) y f Y ( y ) f Y ( y )fY(0.4)x(15(0.4)2)x=2.4xx0.410yfY(y)yfY(y)как указано в вашем листе ответов. Затем приходит "Эй, Ма, я думаю, что вижу образец!" момент, и вы понимаете, что равен показанному интегралу. fY(y)
Дилип Сарвате

Ответы:

8

Как вы правильно указали в своем вопросе, рассчитывается путем интегрирования плотности соединения относительно X. Важнейшей частью здесь является определение области, на которой вы интеграции. Вы уже ясно продемонстрировали графически поддержку функции совместного распределения . Итак, теперь вы можете заметить, что диапазон в затененной области от до (то есть графически вы можете визуализировать горизонтальные линии, параллельные оси x, идущие от диагональной линии к вертикальной линии при ).fY(y)fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)XX=yX=1Y=XX=1

Таким образом, нижний и верхний пределы интегрирования будут равны и . Таким образом, решение проблемы заключается в следующем: X=yX=1

fY(y)=y1fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx=15y2y1xdx=15y2(12x2|y1)=152y2(1y2).
user3487564
источник