Каковы наиболее точные из известных границ для распределенных переменных ?

Пусть $X \sim \chi^2_k$ - распределенная случайная величина хи-квадрат с $k$ степенями свободы. Каковы наиболее точные известные оценки для следующих вероятностей

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

где $\delta_1$ и $\delta_2$ - некоторые функции. Указатели на соответствующие документы будут оценены.

probability chi-squared mkolar
источник

Если вы определите дельты как дополнительные неполные гамма-функции, вы получите точные равенства. Очевидно, что это самые острые границы! Я предполагаю, что смысл этого вопроса в том, что ваш калькулятор не вычисляет неполные гаммы, и вы ищете приблизительное значение, но в нем по-прежнему отсутствует важная информация: как мы можем ответить на этот вопрос, пока не узнаем, что ваш калькулятор может вычислить?

whuber

Меня не интересует вычисление верхней границы, но получение чего-то, что я могу контролировать аналитически. Ответ, который дал Робин, - именно то, что я искал. Вопрос в том, есть ли более точные границы, чем те, которые были предоставлены Массартом и Лораном?

2010 г.

Гамма-интегралы можно «аналитически контролировать», так что вы отличаете?

whuber

Ответы:

Самая острая граница, которую я знаю, это Массарта и Лорана Леммы 1 p1325.

Следствием их границ является:

п (Икс - К \geq 2 \sqrt{К Икс} + 2 Икс) \leq ехр (- Икс)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

п (К - Икс \geq 2 \sqrt{К Икс}) \leq ехр (- Икс)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

Робин Жирар
источник

второе неравенство кажется неправильным или я что-то упустил?

mkolar

@mkolar извините за это, теперь исправлено

Робин Джирард