Если у нас есть две независимые случайные величины и , какова функция вероятности массы ?X 2 ∼ P o i s ( λ ) X 1 + X 2
NB Это не домашняя работа для меня.
distributions
self-study
binomial
poisson-distribution
Маттео Фазиоло
источник
источник
Ответы:
В итоге вы получите две разные формулы для , одну для и одну для . Самый простой способ решения этой проблемы - вычислить произведение и . Тогда - это коэффициент в произведении. Упрощение сумм невозможно.0 ≤ k < n k ≥ n ∑ n i = 0 p X 1 ( i ) z k ∑ ∞ j = 0 p X 2 ( j ) z j p X 1 + X 2 ( k ) z kпИкс1+ X2( к ) 0 ≤ k < n k ≥ n ΣNя = 0пИкс1( i ) zК Σ∞J = 0пИкс2( j ) zJ пИкс1+ X2( к ) ZК
источник
Давать замкнутую формулу в терминах обобщенных гипергеометрических функций (GHF), на которые намекают другие ответы (GHF в этом случае на самом деле является лишь конечным полиномом, поэтому это сокращенная форма для конечной суммы.) Я использовал maple для суммирования свертки, с этот результат:п( Х1+ X2= к ) = ∑Икс1= 0мин ( н , к )( нИкс1) рИкс1( 1 - р )н - х1е- λλк - х1( к - х1) != ( 1 - р )Nе- λλКΓ ( k + 1 )2F0( - k , - n ; ;- р( p - 1 ) λ)
источник
Дилип Сарвейт заявил 7 лет назад, что упрощение невозможно, хотя это было оспорено в комментариях. Тем не менее, я думаю, что полезно отметить, что даже без какого-либо упрощения вычисления довольно просты в любой электронной таблице или языке программирования.
Вот реализация в R:
источник
dpois
x
x
x<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)
dpois
x
zapsmall
n