Название подводит итог моего вопроса, но для ясности рассмотрим следующий простой пример. Пусть , . Определите:
и
Мой вопрос:хотяиполностью зависят, когда, делайтеисходятся к совместному нормальному распределению при?
Мотивация: Моя мотивация для вопроса связана с тем фактом, что кажется странным (но замечательным), что и совершенно зависимы, когда , однако значение многомерного CLT заключается в том, что они приближаются к независимости при (это следует из-за того, что и не коррелированы для всех , следовательно, если они асимптотически нормальны, то они также должны быть асимптотически независимыми).
Заранее спасибо за любые ответы или комментарии!
ps, если вы можете предоставить какие-либо ссылки и т. д., тем лучше!
Ответы:
Короткий ответ, насколько я понимаю, на ваш q: «Да, но ...». Скорости сходимости на S, T и любых других моментах не обязательно совпадают - проверьте определение границ с помощью теоремы Берри-Эссеена .
В случае, если я неправильно понимаю ваши q, Sn и Tn даже держатся за CLT в условиях слабой зависимости (смешение): проверьте CLT Википедии на предмет зависимых процессов .
CLT является такой общей теоремой - базовое доказательство не требует ничего, кроме того, что характеристическая функция Sn и Tn сходится к характеристической функции стандартной нормали, тогда теорема непрерывности Леви говорит, что сходимость характеристической функции подразумевает сходимость распределения.
Джон Кук дает отличное объяснение ошибки CLT здесь .
источник
Конечно, это ничего не доказывает , но я всегда считаю, что симуляции и построение графиков очень удобны для понимания теоретических результатов.
Это особенно простой случай. Мы генерируем случайных нормальных переменных и вычисляем S n и T n ; повторить м раз. Построены графики для n = 1 , 10 , 100 и 1000 . Легко видеть ослабление зависимости при увеличении n ; при n = 100 график практически неотличим от независимости.N SN TN м n = 1 , 10 , 100 1000 N n = 100
источник