Вероятность

9

Предположим, что X1 и X2 - независимые геометрические случайные величины с параметром p . Какова вероятность того, что X1X2 ?

Я запутался в этом вопросе, потому что нам ничего не говорят о X1 и X2 кроме геометрических. Разве это не будет 50% потому что X1 и X2 могут быть чем угодно в диапазоне?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Новая попытка

P(X1X2)=P(X1>X2)+P(X1=X2)

P(X1=X2) =x (1p)x1p(1p)x1p =p2p

P(X1>X2) = P(X1<X2) иP(X1<X2)+P(X1>X2)+P(X1=X2)=1

Следовательно, P(X1>X2) = 1P(X1=X2)2 =1p2p
ДобавлениеP(X1=X2)=p2p к этому, я получаюP(X1X2)=12p

Это правильно?

IRCA
источник
3
Пожалуйста, добавьте тег «самообучения».
StubbornAtom
1
На самом деле, поскольку X1и X2являются дискретными переменными, равенство делает вещи немного менее очевидными.
usεr11852

Ответы:

13

Это не может быть 50% потому что P(X1=X2)>0

Один подход:

Рассмотрим три события P(X1>X2),P(X2>X1) и P(X1=X2) , которые разделяют пространство выборки.

Существует очевидная связь между первыми двумя. Напишите выражение для третьего и упростите. Отсюда и решайте вопрос.

Glen_b - Восстановить Монику
источник
Я отредактировал мой пост с моим новым ответом. Не могли бы вы взглянуть и посмотреть, если это правильно?
IrCa
1
P(X1X2)=12+12P(X1=X2)X1X2
6

Ваш ответ, следуя предложению Глена, является правильным. Другой, менее изящный, способ просто обусловить:

Pr{X1X2}=k=0Pr{X1X2X2=k}Pr{X2=k}=k=0=kPr{X1=}Pr{X2=k}.

Это даст вам тот же , после обработки двух геометрических рядов. Путь Глена лучше.1/(2p)

Zen
источник
4
примечание - я думаю, ваш способ лучше применять к новым проблемам. Потому что это основано на первых принципах. Трюк / интуиция из ответа glen_b обычно приходит после того, как проблема была решена на вашем пути
вероятностная
3
@probabilityislogic Я разделяю ваш энтузиазм по поводу производных от «первых принципов». Однако для современного математика поиск и использование симметрии даже более фундаментальны, чем первые принципы (определения), на которые вы ссылаетесь: мы могли бы назвать это метапринципом математики. Это гораздо больше, чем просто «трюк».
whuber