Проблема Монти Холла - где наша интуиция подводит нас?

Из Википедии:

Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и у вас есть выбор из трех дверей: за одной дверью находится машина; позади остальных коз. Вы выбираете дверь, скажем, № 1, и хозяин, который знает, что за дверями, открывает другую дверь, скажем, № 3, у которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Вам выгодно сменить свой выбор?

Ответ, конечно, да - но он невероятно неинтуитивен. Какое недоразумение имеет большинство людей в отношении вероятности, которая приводит к тому, что мы царапаем голову - или лучше сказать; Какое общее правило мы можем убрать из этой головоломки, чтобы лучше тренировать нашу интуицию в будущем?

Рассмотрим два простых варианта проблемы:

1. Для участника нет открытых дверей. Хозяин не предлагает помощь в выборе двери. В этом случае очевидно, что шансы выбрать правильную дверь равны 1/3.
2. Прежде чем конкурсанта попросят угадать, хозяин открывает дверь и открывает козу. После того, как хозяин обнаруживает козу, участник должен выбрать автомобиль из двух оставшихся дверей. В этом случае очевидно, что вероятность выбора правильной двери равна 1/2.

Чтобы участник знал, что вероятность выбора его двери верна, он должен знать, сколько положительных результатов ему доступно, и разделить это число на количество возможных результатов. Из-за двух простых случаев, описанных выше, вполне естественно думать о всех возможных результатах как о количестве дверей на выбор, а о количестве положительных результатов как о количестве дверей, скрывающих автомобиль. Учитывая это интуитивное предположение, даже если хозяин открывает дверь, чтобы выявить козу после того, как участник делает предположение, вероятность того, что какая-либо дверь содержит автомобиль, остается 1/2.

В действительности, вероятность распознает набор возможных результатов, превышающих три двери, и она распознает набор положительных результатов, которые больше, чем единичная дверь с автомобилем. При правильном анализе проблемы хост предоставляет участнику новую информацию, которая задает новый вопрос: какова вероятность того, что мое первоначальное предположение таково, что новой информации, предоставленной хостом, достаточно, чтобы сообщить мне о правильном дверь? Отвечая на этот вопрос, набор положительных результатов и набор возможных результатов - это не материальные двери и машины, а скорее абстрактное расположение коз и машины. Три возможных результата - три возможных расположения двух козлов и одного автомобиля за тремя дверями. Два положительных результата - это два возможных варианта, когда первое предположение участника неверно. В каждой из этих двух схем информация, предоставленная хозяином (одна из двух оставшихся дверей пуста), достаточна для участника, чтобы определить дверь, которая скрывает автомобиль.

В итоге:

У нас есть тенденция искать простое отображение между физическими проявлениями нашего выбора (двери и машины) и числом возможных результатов и желаемых результатов в вопросе вероятности. Это прекрасно работает в тех случаях, когда участнику не предоставляется новая информация. Однако, если участник получает больше информации (то есть одна из дверей, которые вы не выбрали, это, конечно, не машина), это отображение нарушается, и правильный вопрос, который нужно задать, оказывается более абстрактным.

Я считаю, что люди находят решение более интуитивно понятным, если вы измените его на 100 дверей, закройте первую, вторую, на 98 дверей. Аналогично для 50 дверей и т. Д.

Чтобы ответить на первоначальный вопрос : наша интуиция терпит неудачу из-за повествования. Связав сюжет в том же порядке, что и в телевизионном сценарии, мы запутались. Намного легче, если мы думаем о том, что произойдет заранее. Мастер викторины покажет козу, поэтому наш лучший шанс - выбрать дверь с козой, а затем переключиться. Сюжетная линия придает большое значение потерям, вызванным нашими действиями, в одном из трех шансов, что мы случайно выберем автомобиль.

Оригинальный ответ:

Наша цель - уничтожить обоих коз. Мы делаем это, помечая одного козла сами. Затем мастер викторины вынужден выбирать между выявлением машины или другого козла. Об автомобиле не может быть и речи, так что мастер-викторина обнаружит и уничтожит одного козла, о котором мы не знали. Затем мы переключаемся на оставшуюся дверь, тем самым устраняя козу, которого мы пометили нашим первым выбором, и получаем машину.

Эта стратегия потерпит неудачу, только если мы помечаем не козу, а машину. Но это маловероятно: есть две козы и только одна машина.

Таким образом, у нас есть шанс 2 из 3 выиграть машину.

Ответ не "конечно, ДА!" Правильный ответ: «Я не знаю, вы можете быть более конкретным?»

Единственная причина, по которой вы считаете это правильным, заключается в том, что так сказал Марлин вос Савант. Ее первоначальный ответ на этот вопрос (хотя этот вопрос был широко известен до нее) появился в журнале «Парад» 9 сентября 1990 года . она написала, что «правильным» ответом на этот вопрос было переключение дверей, потому что переключение дверей давало вам более высокую вероятность выиграть автомобиль (2/3 вместо 1/3). Она получила много ответов от докторов математики и других умных людей, которые сказали, что она была неправа (хотя многие из них были также неправильны).

Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и вам предоставляется выбор из трех дверей. За одной дверью - машина, за другими - козы. Вы выбираете дверь, скажем, № 1, и хозяин, который знает, что за дверями, открывает другую дверь, скажем, № 3 , в которой есть коза. Он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Это в ваших интересах изменить ваш выбор дверей? - Крейг Ф. Уитакер, Колумбия, штат Мэриленд

Я выделил важную часть этого логического вопроса. Что неоднозначно в этом утверждении:

Монти Холл всегда открывает дверь? (Какая польза от смены дверей, если он открыл проигрышную дверь, когда вы выбрали выигрышную дверь? Ответ : Нет)

Монти Холл всегда открывает потерянную дверь? (Вопрос указывает , что он знает , где автомобиль, и это особенно время он показал козу за одним. Что бы ваши шансы, если он случайно открыл дверь? Т.е. Monty Fall вопрос или что делать , если иногда он выбирает , чтобы показать победу двери .)

Монти Холл всегда открывает дверь, которую ты не выбрал?

Основы этой логической головоломки повторялись более одного раза, и часто они не указаны достаточно хорошо, чтобы дать «правильный» ответ 2/3.

Владелец магазина говорит, что у нее есть два новых гончих, но она не знает, мужчина это, женщина или пара. Вы говорите ей, что вам нужен только мужчина, и она звонит парню, который дает им ванну. "Является ли хотя бы один мужчина?" она спрашивает его. "Да!" она сообщает вам с улыбкой. Какова вероятность того, что другой мужчина? - Стивен И. Геллер, Пасадена, Калифорния

Парень посмотрел на обеих собак, прежде чем ответить «Да», или он подобрал случайную собаку и обнаружил, что это был кобель, а затем ответил «Да».

Скажите, что у женщины и мужчины (которые не связаны) у каждого есть двое детей. Мы знаем, что по крайней мере один из детей женщины - мальчик, а старший мужчина - мальчик. Можете ли вы объяснить, почему шансы на то, что у женщины есть два мальчика, не равны шансам на то, что у мужчины есть два мальчика? Мой учитель алгебры настаивает на том, что вероятность того, что у этого человека два мальчика, выше, но я думаю, что шансы могут быть одинаковыми. Что вы думаете?

Откуда мы знаем, что у женщины есть хотя бы один мальчик? Мы однажды посмотрели через забор и увидели одного из них? ( Ответ: 50%, так же, как человек )

Вопрос даже споткнулся о наш собственный Джефф Этвуд . Он задал этот вопрос :

Допустим, гипотетически говоря, вы встретили кого-то, кто сказал вам, что у них двое детей, и один из них - девочка. Каковы шансы того, что у человека есть мальчик и девочка?

Джефф продолжает утверждать, что это был простой вопрос, заданный простым языком, и отбрасывает возражения некоторых, которые говорят, что вопрос сформулирован неправильно, если вы хотите, чтобы ответ был 2/3.

Более важно то, почему женщина предложила эту информацию. Если она говорила так, как это делают нормальные люди, когда кто-то говорит, что «один из них - девушка», то другой неизбежно - мальчик. Если мы предполагаем, что это логический вопрос, с целью сбить нас с толку, мы должны спросить, чтобы этот вопрос был более четко определен. Дала ли женщина добровольно выбранный пол одного из своих детей, выбранный случайным образом, или она говорит о наборе своих двоих детей.

Понятно, что вопрос плохо сформулирован, но люди этого не понимают. Когда задают похожие вопросы, где шансы на переключение намного выше, люди либо понимают, что это должно быть уловкой (и ставят под сомнение мотив хозяина), либо получают «правильный» ответ переключения, как в вопросе «сто дверей» , Это также подтверждается тем фактом, что врачи, когда их спрашивают о вероятности того, что у женщины есть конкретное заболевание после положительного результата теста (они должны определить, есть ли у нее заболевание или оно ложно положительное), лучше подходят для правильный ответ, в зависимости от того, как сформулирован вопрос. Есть замечательный разговор TED, который на полпути покрывает этот самый случай.

Он описал вероятности, связанные с тестом на рак молочной железы: 1% протестированных женщин имеют заболевание, и тест является точным на 90 процентов, с ошибочным положительным результатом 9%. Со всей этой информацией, что вы скажете женщине, которая дает положительный результат теста о вероятности заболевания?

Если это поможет, вот тот же вопрос, сформулированный по-другому:

100 из 10000 женщин в возрасте 40 лет, которые участвуют в обычном обследовании, имеют рак молочной железы. 90 из каждых 100 женщин с раком молочной железы получат положительную маммографию. 891 из 9900 женщин без рака молочной железы также получат положительную маммографию. Если 10000 женщин в этой возрастной группе пройдут плановые обследования, то какой процент женщин с положительными маммографиями действительно будет иметь рак молочной железы?

Я бы немного изменил то, что сказал Грэм Куксон. Я думаю, что действительно важной вещью, которую пропускают люди, является не их первый выбор, а выбор хозяина и предположение, что хозяин постарался не раскрывать машину.

На самом деле, когда я обсуждаю эту проблему на уроке, я частично представляю ее как пример, чтобы прояснить ваши предположения. Вам выгодно переключаться, если хозяин проверяет только козу . С другой стороны, если хозяин случайно выбрал дверь 2 и 3 и обнаружил козу, переключение не дает никаких преимуществ.

(Конечно, практический результат заключается в том, что если вы не знаете стратегию хоста, вам все равно следует переключиться.)

Это не дает общего правила, но я думаю, что одна из причин, почему это сложная головоломка, заключается в том, что наша интуиция не очень хорошо справляется с условной вероятностью. Есть много других вероятностных головоломок, которые играют на том же явлении . Так как я делаю ссылку на свой блог, вот пост специально для Монти Холла .

Я согласен, что студенты находят эту проблему очень трудной. Типичный ответ, который я получаю, заключается в том, что после того, как вам покажут козу, есть шанс получить машину в 50:50, так почему это имеет значение? Студенты, кажется, отделяют свой первый выбор от решения, которое их теперь просят сделать, то есть они рассматривают эти два действия как независимые. Затем я напоминаю им, что они в два раза чаще выбрали не ту дверь, поэтому им лучше переключаться.

В последние годы я начал играть в игру в стекле, и это помогает студентам лучше понять проблему. Я использую три картонных "рулона туалетной бумаги", и в двух из них есть скрепки, а в третьей записка стоимостью 5 фунтов стерлингов.

Я считаю, что это скорее вопрос логики, чем трудности с вероятностью, которые делают решение Монти Холла удивительным. Рассмотрим следующее описание проблемы.

Вы решаете дома, прежде чем идти на телешоу, хотите ли вы поменяться дверями или придерживаться своего первого выбора, что бы ни случилось во время шоу. То есть, вы выбираете между стратегиями «Пребывание» или «Переключение», прежде чем играть в игру. В этом выборе стратегии нет неопределенности. Пока нет необходимости вводить вероятности.

Давайте поймем разницу между двумя стратегиями. Опять же, мы не будем говорить о вероятностях.

По стратегии «Пребывание» вы выигрываете тогда и только тогда, когда ваш первый выбор - «хорошая» дверь. С другой стороны, при стратегии «Switch» вы выигрываете тогда и только тогда, когда ваш первый выбор - «плохая» дверь. Пожалуйста, подумайте об этих двух случаях на минуту, особенно на втором. Опять же, обратите внимание, что мы еще не говорили о вероятностях. Это просто вопрос логики.

$1/3$$1/3$$2/3$

PS В 1990 году профессор Ларри Дененберг направил письмо ведущему телешоу Монти Холлу с просьбой разрешить использовать в книге свое имя для описания хорошо известной проблемы трех дверей.

Вот изображение части ответа Монти на это письмо, где мы можем прочитать:

«Как я понимаю, это не будет иметь никакого значения после того, как игрок выберет Дверь А, и когда ему будет показана Дверь С - зачем ему тогда пытаться переключиться на Дверь В?»

Таким образом, мы можем с уверенностью заключить, что Монти Холл (сам человек) не понимал проблему Монти Холла!

Не нужно знать об условной вероятности или теореме Байеса, чтобы понять, что лучше всего поменять свой ответ.

Предположим, вы изначально выбрали Дверь 1. Тогда вероятность того, что Дверь 1 станет победителем, равна 1/3, а вероятность того, что Двери 2 или 3 станут победителями, равна 2/3. Если Дверь 2 оказывается проигравшей по выбору хозяина, то вероятность того, что 2 или 3 - победитель, остается 2/3. Но поскольку Дверь 2 проиграла, Дверь 3 должна иметь 2/3 вероятности быть победителем.

Урок? Переформулируйте вопрос и ищите стратегию вместо того, чтобы смотреть на ситуацию. Переверни вещь на голову, работай задом наперед ...

Люди вообще плохо работают со случайностью. Животные, как правило, живут лучше, когда обнаруживают, что либо А, либо В дают более высокую выплату в среднем. ; они придерживаются выбора с лучшим средним. (ссылка не готова - извините.)

Первое, что люди испытывают искушение при просмотре дистрибутива 80/20, - это распространить свой выбор в соответствии с выплатой: 80% на лучший выбор и 20% на другой. Это приведет к выплате 68%.

Опять же, существует правильный сценарий для людей, чтобы выбрать такую ​​стратегию: если шансы меняются со временем, есть веская причина для отправки исследования и попробовать выбор с меньшим шансом на успех.

Важная часть математической статистики фактически изучает поведение процессов, чтобы определить, являются ли они случайными или нет.

Я думаю, что происходит несколько вещей.

С одной стороны, установка подразумевает больше информации, чем учитывает решение. Что это игровое шоу, и ведущий спрашивает нас, хотим ли мы переключиться.

Если вы предполагаете, что ведущий не хочет, чтобы шоу тратило дополнительные деньги (что разумно), то вы предполагаете, что он попытается убедить вас измениться, если у вас будет подходящая дверь.

Это здравый смысл взглянуть на проблему, которая может сбить людей с толку, однако я думаю, что главная проблема не в том, чтобы понять, чем новый выбор отличается от первого (что более ясно в случае с 100 дверьми).

Я процитирую эту замечательную статью о lesswrong:

Возможные гипотезы: Автомобиль в двери 1, Автомобиль в двери 2 и Автомобиль в двери 3; до начала игры нет оснований полагать, что какая-либо из трех дверей с большей вероятностью, чем другие, будет содержать автомобиль, и поэтому каждая из этих гипотез имеет предварительную вероятность 1/3.

Игра начинается с нашего выбора двери. Конечно, это само по себе не является свидетельством того, где находится машина - мы предполагаем, что у нас нет конкретной информации об этом, кроме того, что она находится за одной из дверей (в этом весь смысл игры!). Однако, как только мы это сделаем, у нас будет возможность «запустить тест», чтобы получить некоторые «экспериментальные данные»: хозяин будет выполнять свою задачу по открытию двери, в которой гарантированно содержится коза. Мы представим результат, в котором Хост откроет Дверь 1, в виде треугольника, в результате Хост откроет Дверь 2 в виде квадрата, а результат - Хост откроет Дверь 3 в виде пятиугольника - таким образом, разделив пространство нашей гипотезы более точно на такие возможности, как «Автомобиль». в двери 1 и хозяин открывает дверь 2 "," автомобиль в двери 1 и хозяин открывает дверь 3 "и т. д.

Прежде чем мы сделаем наш первоначальный выбор двери, хозяин с равной вероятностью откроет любую из козьих дверей. Таким образом, в начале игры вероятность каждой гипотезы вида «Автомобиль в двери X и хозяин открывает дверь Y» имеет вероятность 1/6, как показано. Все идет нормально; все по-прежнему совершенно правильно.

Теперь мы выбираем дверь; скажем, мы выбираем Дверь 2. Хозяин затем открывает Дверь 1 или Дверь 3, чтобы показать козу. Давайте предположим, что он открывает дверь 1; наша диаграмма теперь выглядит так:

Но это показывает одинаковую вероятность того, что автомобиль находится за дверью 2 и дверью 3!

Вы поймали ошибку?

Вот, пожалуйста, вот как ваша интуиция подводит вас.

Проверьте правильное решение в полной статье . Оно включает :

• Объяснение теоремы Байеса
• Неправильный подход Монти Холла
• Правильный подход Монти Холла
• Больше проблем ...

По моему опыту, это тот факт, что люди не переходят автоматически от слов к математике. Обычно, когда я впервые это представляю, люди ошибаются. Тем не менее, я вынимаю колоду из 52 карт и заставляю их выбрать одну. Затем я показываю пятьдесят карт и спрашиваю их, хотят ли они поменяться. Большинство людей тогда получают это. Они интуитивно знают, что, вероятно, получили не ту карту, когда их 52, и когда они видят пятьдесят из них, решение довольно простое. Я не думаю, что это скорее парадокс, чем склонность отключать ум в математических задачах.