Существуют ли какие-либо распределения, кроме Коши, для которых среднее арифметическое выборки следует тому же распределению?

Существуют ли какие-либо распределения, кроме Коши, для которых среднее арифметическое выборки следует тому же распределению?

Если следует распределению Коши, то также следует точно тому же распределению, что и ; увидеть эту тему . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

У этого свойства есть имя?
Есть ли другие дистрибутивы, для которых это правда?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Еще один способ задать этот вопрос:

пусть - случайная величина с плотностью вероятности . $X$ $f(x)$

Пусть , где обозначает наблюдение г - й из . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ самого по себе можно рассматривать как случайную величину, без кондиционирования на каких - либо конкретных значениях . $X$

Если следует распределению Коши, то функция плотности вероятности равна $X$ $Y$ $f(x)$

Существуют ли другие виды (нетривиальных *) функций плотности вероятности для которые приводят к тому, что имеет функцию плотности вероятности ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* Единственный тривиальный пример, который я могу вспомнить, - это дельта Дирака. т.е. не случайная величина.

distributions expected-value central-limit-theorem cauchy Чечи Левас
источник

Ваш заголовок не имеет большого смысла, потому что «ожидаемое значение образца» - это число. Вы имеете в виду среднее арифметическое выборки вместо этого? Вопрос также расплывчат: под «распределением» вы подразумеваете конкретное распределение или вы подразумеваете - как предполагает термин «Коши» - семейство распределений? Это не небольшая тонкость: ответ полностью меняется в зависимости от того, что вы имеете в виду. Пожалуйста, отредактируйте свой пост, чтобы уточнить его.

whuber

@whuber, я добавил в вопрос вторую часть, которая, как мы надеемся, ужесточает диапазон возможных интерпретаций.

Чечи Левас

Спасибо; это проясняет большую часть этого. Однако существуют разные ответы в зависимости от того, исправили ли вы или хотите, чтобы этот результат сохранялся для всех Если это последнее, условие на cf или cgf является серьезным и приводит к готовому решению. Если это первое, то потенциально есть дополнительные решения.

n

$n$

n .

$n.$

whuber

Я думал для всех но если кто-то хочет также предоставить анализ по фиксированному , это будет приветствоваться.

n

$n$

n

$n$

Чечи Левас

Ответы:

На самом деле это не ответ, но, по крайней мере, нелегко создать такой пример из стабильного дистрибутива. Нам нужно было бы получить rv, характеристическая функция которого равна средней.

В общем, для IID рисовать, то сравни в среднем составляет

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ с cf одного rv. Для стабильных распределений с нулевым параметром местоположения имеем где Распределение Коши соответствует , , так что действительно для любого параметра масштаба .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

В общем, чтобы получить , кажется, , поэтому но

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

Кристоф Ханк
источник

Так что справедливо ли сказать, что на основании вашего анализа Коши является единственным решением для a = 1?

Чечи Левас

Это мое впечатление от этих результатов, но я вполне уверен, что есть люди, которые более осведомлены о стабильных дистрибутивах.

Кристоф Ханк,

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$