Сохраняются ли вероятности при преобразовании функций?

Я думаю, что это довольно просто, но, скажем, у меня есть случайная величина , является ли вероятность P ( X ≤ a ) такой же, как P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) для любой действительной непрерывной функции f ?$X$$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Это верно, только если монотонно возрастает. Если f монотонно убывающая, то P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) . Например, если f ( x ) = - x , а X - обычный бросок кубика, то P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ ноP(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$ . Если$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$ переключается между увеличением и уменьшением, то это еще сложнее.

Обратите внимание, что существует также тривиальный случай , в котором P ( f ( X ) ≤ a ) равен 1, если a ≥ 0, и 0 в противном случае.$f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Это связано с вопросом:

является $X \leq a$ для каждого $f(X) \leq f(a)$?

Там может быть много способов нарушить $f(X) \leq f(a)$ пока $X \leq a$, Но, во всех случаях, это требует$f$ быть немонотонной функцией.