Пусть тогда и только тогда, когда образуют треугольник. Тогда и каждый . Это то, что вы использовали для расчета ожидаемого значения.{ i , j , k } X = ∑ i , j , k Y i j k Y i j k ∼ B e r n o u l l i ( p 3 )Yijk=1{i,j,k}X=∑i,j,kYijkYijk∼Bernoulli(p3)
Для дисперсии проблема заключается в том, что не являются независимыми. Действительно, напишите
Нам нужно вычислить , что является вероятностью присутствия обоих треугольников. Есть несколько случаев: X 2 = ∑ i , j , k ∑ i ′ , j ′ , k ′ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ . E [ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ ]Yijk
X2=∑i,j,k∑i′,j′,k′YijkYi′j′k′.
E[YijkYi′j′k′]
- Если (те же 3 вершины), то . В двойной сумме будет таких членов.E [ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ ] = p 3 ( n{i,j,k}={i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p3(n3)
- Если множества и имеют ровно 2 общих элемента, то нам нужно 5 ребер, чтобы получить два треугольника, так что . в сумме будет таких слагаемых.{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ ] = p 5 12 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p512(n4)
- Если множества и имеют 1 общий элемент, то нам нужно 6 ребер, так что . В сумме будет таких слагаемых.{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ ] = p 6 30 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p630(n5)
- Если множества и имеют 0 общих элементов, то нам нужно 6 ребер, так что . В сумме будет таких слагаемых.{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ ] = p 6 20 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p620(n6)
Чтобы убедиться, что мы рассмотрели все случаи, обратите внимание, что сумма складывается из .(n3)2
(n3)+12(n4)+30(n5)+20(n6)=(n3)2
Не забывая вычесть квадрат ожидаемого среднего значения, сложив все вместе, получим:
E[X2]−E[X]2=(n3)p3+12(n4)p5+30(n5)p6+20(n6)p6−(n3)2p6
Используя те же числовые значения, что и в вашем примере, следующий код R вычисляет стандартное отклонение, которое достаточно близко к значению 262 из вашего моделирования.
n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945
Следующий код Mathematica также вычисляет стандартное отклонение, которое дает тот же результат.
mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795
Я предоставляю немного другой подход к выводу .X2
С тем же отличием, что и Робин Райдер:
Если то есть 3 вершины одинаковы, таким образом, мы должны выбрать 3 вершины из n возможных . У нас должно быть 3 ребра . Объединено:{i,j,k}={i′,j′,k′} ⇒(n3) ⇒p3 (n3)p3
Если и имеют две общие вершины, это означает, что для которых и наоборот (у каждого треугольника есть одна вершина, которая не является частью другого треугольника). Wlog представьте, что и - упомянутые дизъюнктные вершины, а = , = . Чтобы достичь = , = , мы должны выбрать те же две вершины из n возможных . Для{i,j,k} {i′,j′,k′} ∃v∈{i,j,k} v∉{i′,j′,k′} v=k v′=k′ i i′ j j′ i i′ j j′ ⇒(n2) k≠k′ мы должны выбрать еще две из оставшихся вершин. Первый: и второй: . Поскольку ребро и одинаково, у нас должно быть 5 ребер . Объединено:(n−2) (n−3) {i,j} {i′,j′} ⇒p5 (n2)(n−2)(n−3)p5
Если и имеют только одну общую вершину, то 4 не разделены. Представьте себе, wlog, что = . Это означает, что из n возможных вершин мы должны выбрать 1 . Для треугольника мы выбираем 2 вершины из оставшихся . Для треугольника мы выбираем 2 из оставшихся , это связано с предположением, что и . Поскольку у нас есть только одна общая вершина, у нас должно быть 6 ребер{i,j,k} {i′,j′,k′} i i′ ⇒n {i,j,k} (n−1)⇒(n−12) {i′,j′,k′} (n−3)⇒(n−32) j′∉{i,j,k} k′∉{i,j,k} ⇒p6 . Объединено:n(n−12)(n−32)p6
Для последнего случая: если и имеют общей вершины, то эти 2 треугольника не пересекаются. Мы выбираем первый треугольник, 3 вершины из n возможных . И второй треугольник, 3 вершины из оставшихся . Треугольники не разделены, то есть они не имеют ребер и вершин, поэтому должно присутствовать 6 ребер . Объединено:{i,j,k} {i′,j′,k′} ⇒(n3) (n−3) ⇒(n−33) ⇒p6 (n3)(n−33)p6
Как и в подходе Робина Райдера, мы также можем проверить, что:
Это ведет к:
источник