и - независимо распределенные случайные величины, где и. Каково распределение ?
Совместная плотность определяется как
Используя замену переменных , что и ,
Я получаю плотность соединения как
Маргинальный ПДФ является то е Z ( г ) = ∫ ∞ | z | f Z , W ( z , w ) , что меня никуда не ведет.
Опять же, при поиске функции распределения обнаруживается неполная бета / гамма-функция:
Что является подходящим изменением переменных здесь? Есть ли другой способ найти распределение ?
Я пытался использовать разные отношения между распределениями Chi-Squared, Beta, 'F' и 't', но, похоже, ничего не получалось. Возможно, я упускаю что-то очевидное.
Как уже упоминалось @Francis, это преобразование является обобщением преобразования Бокса-Мюллера.
Ответы:
Вот алгебраическое доказательство. Я буду вместо этого позволить (не квадрат) , так что нам нужно найти . Все они гарантированно являются действительными плотностями, поэтому я не собираюсь отслеживать константы нормализации. У нас есть Пусть и поэтому обратные преобразования: и . Это дает нам . Это приводит нас к Z : = ( 2 Y - 1 ) Х е Х , Y ( х , у ) α х п - 2 е - х 2 / 2 [ у ( 1 - у ) ] п / 2 - 2 : 1 { 0 < х ,X∼χn−1 Z:=(2Y−1)X Z=(2y-1)XW=Xx(z,w)=wy(z,w)= z + w
Для удобства пусть . Умножим обе части на чтобы получить Теперь пусть поэтому . Это дает нам Поскольку этот конечный интеграл не зависит от , мы показали, что , поэтомуm=n/2−2 ez2/2
источник
(Этот аргумент относится к интегралу .)n=2,3,4,…
Если вам нужно убедить в цифрах (что всегда разумно, поскольку оно может выявить ошибки в рассуждениях и расчетах), смоделируйте:
Согласие между смоделированными результатами и заявленным стандартным нормальным распределением является превосходным в этом диапазоне значений .n
Поэкспериментируйте с
R
кодом, который создал эти графики, если хотите.источник
Как пользователь @Chaconne уже сделал, я смог предоставить алгебраическое доказательство с этим конкретным преобразованием. Я не пропустил никаких деталей.
(У нас уже есть чтобы плотность была действительной).n>2 Y
Рассмотрим преобразование таким образом, что и .(X,Y)↦(U,V) U=(2Y−1)X−−√ V=X
Это подразумевает и .x=v y=12(uv√+1)
Теперь и ,x>0⟹v>0 0<y<1⟹−v√<u<v√
так что двумерный носитель просто .(U,V) S={(u,v):0<u2<v<∞,u∈R}
Абсолютное значение якобиана преобразования составляет .|J|=12v√
Таким образом, плотность соединения(U,V)
Теперь, используя формулу дублирования Лежандра,
Таким образом , для ,n>2
Предельный pdf из тогда даетсяU
источник
Это скорее ответ черного ящика (т. Е. Отсутствуют алгебраические детали) с использованием Mathematica . Короче говоря, @whuber утверждает, что ответом является то, что распределение является стандартным нормальным распределением.Z
источник
Не ответ сам по себе , но это может быть , стоит отметить, подключение к трансформации Box-Мюллера.
Рассмотрим преобразование Бокса-Маллера , где . Мы можем показать, что , то есть . С другой стороны, мы можем показать, что имеет распределение арксинус масштаба масштаба , которое согласуется с распределением . Это означает, что преобразование Бокса-Мюллера является частным случаем когда .U,V~U(0,1)-перU~Exp(1)-2перU~χ 2 2 греха(2πV)2B(1/2,1/2)-1()Z=−2lnU−−−−−−√sin(2πV) U,V∼U(0,1) −lnU∼Exp(1) −2lnU∼χ22 sin(2πV) 2B(1/2,1/2)−1 n=3(2Y−1)X−−√ n=3
Связанные :
Как использовать преобразование Бокса-Мюллера для генерации n-мерных нормальных случайных величин
Как сгенерировать равномерно распределенные точки на поверхности 3-й единицы сферы?
источник