когда

12

X иY - независимо распределенные случайные величины, гдеXχ(n1)2 иYBeta(n21,n21). Каково распределениеZ=(2Y1)X ?

Совместная плотность (X,Y) определяется как

fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=ex2xn1212n12Γ(n12)yn22(1y)n22B(n21,n21)1{x>0,0<y<1}

Используя замену переменных (X,Y)(Z,W) , что Z=(2Y1)X иW=X ,

Я получаю плотность соединения (Z,W) как

fZ,W(z,w)=ew22wn3(14z24w2)n222n12Γ(n12)B(n21,n21)1{w>0,|z|<w}

Маргинальный ПДФ является то е Z ( г ) = | z | f Z , W ( z , w )Z , что меня никуда не ведет.fZ(z)=|z|fZ,W(z,w)dw

Опять же, при поиске функции распределения обнаруживается неполная бета / гамма-функция:Z

FZ(z)=Pr(Zz)

=Pr((2Y1)Xz)=(2y1)xzfX,Y(x,y)dxdy

Что является подходящим изменением переменных здесь? Есть ли другой способ найти распределение ?Z

Я пытался использовать разные отношения между распределениями Chi-Squared, Beta, 'F' и 't', но, похоже, ничего не получалось. Возможно, я упускаю что-то очевидное.


Как уже упоминалось @Francis, это преобразование является обобщением преобразования Бокса-Мюллера.

StubbornAtom
источник
4
Выглядит как обобщение преобразования Бокса-Мюллера
Фрэнсис

Ответы:

10

Вот алгебраическое доказательство. Я буду вместо этого позволить (не квадрат) , так что нам нужно найти . Все они гарантированно являются действительными плотностями, поэтому я не собираюсь отслеживать константы нормализации. У нас есть Пусть и поэтому обратные преобразования: и . Это дает нам . Это приводит нас к Z : = ( 2 Y - 1 ) Х е Х , Y ( х , у ) α х п - 2 е - х 2 / 2 [ у ( 1 - у ) ] п / 2 - 2 : 1 { 0 < х ,Xχn1Z:=(2Y1)XZ=(2y-1)XW=Xx(z,w)=wy(z,w)= z + w

fX,Y(x,y)xn2ex2/2[y(1y)]n/221{0<x,0<y<1}.
Z=(2y1)XW=Xx(z,w)=w | J| =1y(z,w)=z+w2w=z2w+12 фZ,W(г,ш)αшп-1е-ш2/2[ г + ш|J|=12wwe-w2
fZ,W(z,w)wn1ew2/2[z+w2w(1z+w2w)]n/221{0<w,1<zw<1}
wew2/2(w2z2)n/221{|z|<w}.
Таким образом,
fZ(z)w>|z|wew2/2(w2z2)n/22dw.

Для удобства пусть . Умножим обе части на чтобы получить Теперь пусть поэтому . Это дает нам Поскольку этот конечный интеграл не зависит от , мы показали, что , поэтому m=n/22ez2/2

ez2/2fZ(z)|z|we(w2z2)/2(w2z2)mdw.
2u=w2z2du=wdwz e z
ez2/2fZ(z)2m0umeudu=2mΓ(m+1).
zez2/2fZ(z)1
ZN(0,1).
JLD
источник
1
+1. Я рад, что вы восстановили этот ответ, потому что он охватывает все значения , а не только целые. n
whuber
@ whuber спасибо, я почему-то поставил вместо и мне потребовалось некоторое время, чтобы понять, почему я получаю странное поведение, когда нечетноz2w2w2z2n
jld
9

2Y1 распределен как одна координаты равномерного распределения на сферуn1 ; имеет распределение суммы квадратов стандартных нормальных переменных; и эти две величины независимы. Геометрически имеет распределение одной координаты, то есть оно должно иметь стандартное нормальное распределение.Xn1(2Y1)X

(Этот аргумент относится к интегралу .)n=2,3,4,

Если вам нужно убедить в цифрах (что всегда разумно, поскольку оно может выявить ошибки в рассуждениях и расчетах), смоделируйте:

На рисунке показаны четыре гистограммы для n = 2,3,4,5

Согласие между смоделированными результатами и заявленным стандартным нормальным распределением является превосходным в этом диапазоне значений .n

Поэкспериментируйте с Rкодом, который создал эти графики, если хотите.

n.sim <- 1e5
n <- 2:5
X <- data.frame(Z = c(sapply(n, function(n){
  y <- rbeta(n.sim, n/2-1, n/2-1)  # Generate values of Y
  x <- rchisq(n.sim, n-1)          # Generate values of X
  (2*y - 1) * sqrt(x)              # Return the values of Z
})), n=factor(rep(n, each=n.sim)))

library(ggplot2)
#--Create points along the graph of a standard Normal density
i <- seq(min(z), max(z), length.out=501)
U <- data.frame(X=i, Z=dnorm(i))

#--Plot histograms on top of the density graphs
ggplot(X, aes(Z, ..density..)) + 
  geom_path(aes(X,Z), data=U, size=1) +
  geom_histogram(aes(fill=n), bins=50, alpha=0.5) + 
  facet_wrap(~ n) + 
  ggtitle("Histograms of Simulated Values of Z",
          paste0("Sample size ", n.sim))
Whuber
источник
1
Спасибо, @ Стабборн. Не имеет значения, что параметры являются согласованными, в противном случае заключение является неправильным. Я исправлю это.
whuber
3

Как пользователь @Chaconne уже сделал, я смог предоставить алгебраическое доказательство с этим конкретным преобразованием. Я не пропустил никаких деталей.


(У нас уже есть чтобы плотность была действительной).n>2Y

Рассмотрим преобразование таким образом, что и .(X,Y)(U,V)U=(2Y1)XV=X

Это подразумевает и .x=vy=12(uv+1)

Теперь и ,x>0v>00<y<1v<u<v

так что двумерный носитель просто .(U,V)S={(u,v):0<u2<v<,uR}

Абсолютное значение якобиана преобразования составляет .|J|=12v

Таким образом, плотность соединения(U,V)

fU,V(u,v)=ev2vn121(uv+1)n22(12u2v)n22Γ(n2)(2v)2n12+n22Γ(n12)(Γ(n21))21S

=ev2vn42(v+u)n22(vu)n22Γ(n2)22n32+n22(v)n4Γ(n12)(Γ(n22))21S

Теперь, используя формулу дублирования Лежандра,

Γ(n2)=2n3πΓ(n22)Γ(n22+12)=2n3πΓ(n22)Γ(n12) где .n>2

Таким образом , для ,n>2

fU,V(u,v)=2n3ev2(vu2)n22π23n72Γ(n21)1S

Предельный pdf из тогда даетсяU

fU(u)=12n12πΓ(n21)u2ev2(vu2)n22dv

=eu222n12πΓ(n21)0et2t(n211)dt

=12n12π(12)n21eu22

=12πeu2/2,uR
StubbornAtom
источник
2

Это скорее ответ черного ящика (т. Е. Отсутствуют алгебраические детали) с использованием Mathematica . Короче говоря, @whuber утверждает, что ответом является то, что распределение является стандартным нормальным распределением.Z

(* Transformation *)
f = {(2 y - 1) Sqrt[x], Sqrt[x]};
sol = Solve[{z == (2 y - 1) Sqrt[x], w == Sqrt[x]}, {x, y}][[1]]
(*{x -> w^2,y -> (w+z)/(2 w)} *)
(* Jacobian *)
J = D[f, {{x, y}}]

(* Joint pdf of Z and W *)
{jointpdf, conditions} = FullSimplify[PDF[BetaDistribution[n/2 - 1, n/2 - 1], y] 
  PDF[ChiSquareDistribution[n - 1], x] Abs[Det[J]] /. sol,
  Assumptions -> {w >= 0, 0 <= y <= 1}][[1, 1]]

(* Integrate over W *)
Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z == 0}]
(* 1/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z > 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z < 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)
JimB
источник
1

Не ответ сам по себе , но это может быть , стоит отметить, подключение к трансформации Box-Мюллера.

Рассмотрим преобразование Бокса-Маллера , где . Мы можем показать, что , то есть . С другой стороны, мы можем показать, что имеет распределение арксинус масштаба масштаба , которое согласуется с распределением . Это означает, что преобразование Бокса-Мюллера является частным случаем когда .U,V~U(0,1)-перU~Exp(1)-2перU~χ 2 2 греха(2πV)2B(1/2,1/2)-1()Z=2lnUsin(2πV)U,VU(0,1) lnUExp(1)2lnUχ22 sin(2πV)2B(1/2,1/2)1 n=3(2Y1)Xn=3

Связанные :

Фрэнсис
источник