Какие формы распределения приводят к «пифагорейскому ожиданию»?

Пусть $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ и - независимые непрерывные случайные величины, сгенерированные из одной и той же неопределенной формы распределения, но с учетом различных значений параметров. Мне интересно найти форму параметрического распределения, для которой для всех допустимых значений параметров справедлива следующая вероятность выборки:$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Мой вопрос: может ли кто-нибудь сказать мне непрерывную форму распределения, для которой это имеет место? Существуют ли (нетривиальные) общие условия, которые приводят к этому?

Мои предварительные мысли: если вы умножите оба параметра на любую ненулевую константу, то вероятность останется неизменной, поэтому имеет смысл, чтобы $\theta$ был своего рода параметром масштаба.

Если мы возьмем две экспоненциальные случайные величины получаем, что P ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } и E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ Теперь, еслиX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ тогда P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

Если $X$ это Вейбулл $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ и $Y$ это независимый Вейбулл $\left( \alpha, \beta_2 \right)$где альфа является параметром формы, а бета-версии являются масштабными параметрами, тогда известно, что

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Это можно получить, следуя тому же подходу, который дан в ответе Сианя.

Теперь давай $\alpha=2$ для обоих $X$ и $Y$, Если$X$ имеет масштабный параметр $\theta_X$ и $Y$ имеет масштабный параметр $\theta_Y,$ у нас есть

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$