Тригонометрические операции на стандартных отклонениях

Сложение, вычитание, умножение и деление нормальных случайных величин хорошо определены, но как насчет тригонометрических операций?

Например, предположим, что я пытаюсь найти угол треугольного клина (смоделированного как прямоугольный треугольник) с двумя катетами, имеющими размеры и , оба описанные как нормальные распределения. $d_1$ $d_2$

И интуиция, и симуляция говорят мне, что полученное распределение нормальное, со средним . Но есть ли способ вычислить распределение полученного угла? Ссылки на где я найду ответ? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(Для некоторого контекста я работаю над статистическим допуском механических деталей. Моим первым импульсом было бы просто смоделировать весь процесс, проверить, является ли конечный результат достаточно нормальным, и вычислить стандартное отклонение. Но мне интересно если бы был более аккуратный аналитический подход.)

distributions normal-distribution circular-statistics saddlepoint-approximation Bossykena
источник

Не могли бы вы подтвердить, что (a) d1 и d2 являются длинами сторон (а не углов); (б) что вы предполагаете, что угол между ними является прямым (в противном случае формула атана является подозрительной); и (c) что вас интересует распределение одного из других углов этого прямоугольного треугольника? Кроме того, предположительно, SD каждого распределения длины намного меньше его ожидания, потому что у треугольника не должно быть какой-либо заметной вероятности отрицательной длины стороны :-).

whuber

Exact. Я перефразировал проблему, чтобы сделать ее немного понятнее. И да, SD будет небольшим по сравнению с размерами.

Боссикена

Используя формулы для умножения и сложения, вы можете попробовать расширение Тейлора.

Спасибо за ваши отличные ответы, которые (насколько я могу судить по моему ограниченному опыту в области статистики) являются как интуитивными, так и надежными.

Боссикена

Ответы:

В этой интерпретации треугольник является прямым треугольником с длинами сторон и распределенными бинормально с ожиданиями и , стандартными отклонениями и и корреляцией . Мы ищем распределение . С этой целью стандартизировать и так, чтобы $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

с и стандартная норма меняется с корреляцией . Пусть - угол и для удобства пишем . потом $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Левая рука, будучи линейной комбинацией нормалей, является нормальным, со средним и дисперсией . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Дифференцирование нормального cdf этих параметров по дает pdf угла. Выражение довольно ужасное, но ключевой его частью является экспоненциальный $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

сразу показывая, что угол обычно не распределен. Однако, как показывает ваше моделирование и интуиция, оно должно быть примерно нормальным, при условии, что вариации длины сторон невелики по сравнению с самими длинами. В этом случае приближение седловой точки должно давать хорошие результаты для конкретных значений , , , и , даже если общее решение замкнутой формы недоступно. Приблизительное стандартное отклонение будет выпадать сразу после нахождения второй производной (относительно $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) логарифма PDF (как показано в уравнениях (2.6) и (3.1) ссылки). Я рекомендую систему компьютерной алгебры (например, MatLab или Mathematica) для этого!

Whuber
источник

Там никогда не было никаких шансов, что это будет нормально распространяться. Это угол! Он принимает значения только

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$ ,

Робби МакКиллиам

P (Y / X,

\leq

$\le$ q) = P (Y

\leq

$\le$ qX) неверно, если X является нормальным rv - X тоже может быть отрицательным.

Ронаф

@ronaf: на самом деле, так как

X

$X$ и

Y

$Y$ являются длинами сторон физического треугольника, мы не должны иметь отрицательный

X

$X$ !

Шаббычеф

@ronaf: это правильная идея. Если использовать длину стороны со знаком, а также рассматривать угол как реальное значение (а не его значение по модулю

2 π

$2\pi$ ), нет противоречия с нормой в любом случае. Ваша точка зрения о том, что неравенство может быть ошибочным, превосходна. Все, что я могу сделать в ответ, - это утверждать, что уравнение является превосходным приближением при сделанных допущениях, потому что вероятность отрицательного значения X или Y незначительна.

whuber

@YBE Я согласен, что последний знак "+" в моем выражении выглядит так, как будто он не принадлежит - он мог проскользнуть, когда я чистил разметку TeX. У меня нет ссылки, потому что я сам вычислил производную.

whuber

Вы просматриваете циклическую статистику и, в частности, циклическое распределение, называемое прогнозируемым нормальным распределением .

По некоторым причинам эта тема может быть немного трудной для Google, но два основных текста по круговой статистике - это Статистический анализ кольцевых данных по Фишеру и Направленная статистика по Мардии и Джаппу.

For a thorough analysis of the projected normal distribution see page 46 of Mardia and Jupp. There are closed form expressions (up to the error function integral) for the distribution, and as whuber has suggested, it looks similar to the normal when its `variance' (careful here, what does variance mean for a random variable on a circle?!) is small, i.e. when the distribution is quite concentrated at one point (or direction or angle).

Robby McKilliam
источник