Распределение, которое имеет диапазон от 0 до 1 и с пиком между ними?

Существует ли какой-либо дистрибутив или я могу работать из другого дистрибутива, чтобы создать такой дистрибутив, как на изображении ниже (извините за плохие рисунки)?

где я даю число (0,2, 0,5 и 0,9 в примерах), где должен быть пик, и стандартное отклонение (сигма), которое делает функцию более широкой или менее широкой.

PS: Когда данное число равно 0,5, распределение является нормальным распределением.

Одним из возможных вариантов является бета-распределение , но оно повторно параметризовано в терминах среднего значения и точности ϕ , то есть «для фиксированного значения μ чем больше значение ϕ , тем меньше дисперсия y » (см. Ferrari и Cribari- Нето, 2004). Функция плотности вероятности строится путем замены стандартных параметров бета-распределения на α = ϕ μ и β = ϕ ( 1 - μ $\mu$$\phi$$\mu$$\phi$$y$$\alpha = \phi\mu$$\beta = \phi(1-\mu)$

где и V a r ( Y ) = μ ( 1 - μ $E(Y) = \mu$ .$\mathrm{Var}(Y) = \frac{\mu(1-\mu)}{1+\phi}$

Кроме того, вы можете рассчитать соответствующие параметры и β , которые приведут к бета-распределению с заранее заданным средним значением и дисперсией. Однако обратите внимание, что существуют ограничения на возможные значения дисперсии, которые действительны для бета-распределения. Лично для меня параметризация с использованием точности более интуитивна (подумайте о $\alpha$$\beta$ пропорции вбиномиально распределенном X , с размером выборки ϕ и вероятностью успеха µ ).$x\,/\,\phi$ $X$$\phi$$\mu$

Распределение Кумарасвами является еще одним ограниченным непрерывным распределением, но было бы сложнее повторно параметризовать, как описано выше.

Как уже заметили, это не нормально , так как нормальное распределение имеет поддержку, поэтому в лучшем случае вы могли бы использовать усеченный нормальный как приближение.$(-\infty, \infty)$

_{Ferrari, S. & Cribari-Neto, F. (2004). Бета-регрессия для моделирования скоростей и пропорций. Журнал прикладной статистики, 31 (7), 799-815.}

$\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)}$

$y=\frac{exp(x)}{1+exp(x)}$$y$$x$

В функции нет ничего особенного$\frac{exp(x)}{1+exp(x)}$

$y=F(x)$$F()$$y$$F()$$x$$x$$y$$x$$y$

$y$$x$$F()$

Если кто-то заинтересован в решении, я использовал в Python для генерации случайного значения, близкого к данному числу в качестве параметра. Мое решение существует из четырех этапов. На каждом этапе вероятность того, что сгенерированное число будет ближе к данному числу, больше.

Я знаю, что решение не так красиво, как использование одного дистрибутива, но именно так я смог решить свою проблему:

number_factory.py:

import random
import numpy as np

class NumberFactory:
    def __init__(self):
        self.functions = [self.__linear, self.__exponential_point_four, self.__exponential_point_three, self.__exponential_point_twenty_five]  
        self.stage = 0

    def next_stage(self):
        self.stage += 1

    def get_mutated_number(self, number):
         # True if the generated number will be higher than the given number
         # False if the generated number will be lower than the given number
        add = bool(np.random.choice([0,1], p=[number, 1-number]))

        # Generate a number between 0 and 1 that will be used
        # to multiply the new number by which the number parameter will be substracted or added
        # The bigger the stage number (0-3) the more change that the mutated number is close to the number parameter
        multiply_number_seed = random.uniform(0, 1)
        multiply_number = self.functions[self.stage](multiply_number_seed)

        if (add):
            return number+((1-number)*multiply_number)
        else:
            return number-(number*multiply_number)

    def __linear(self, x):
        return -x+1

    def __exponential_point_four(self, x):
        return 0.4*x**2 - 1.4*x + 1

    def __exponential_point_three(self, x):
        return 0.8*x**2 - 1.8*x + 1

    def __exponential_point_twenty_five(self, x):
        return x**2 - 2*x + 1

    def get_stage(self):
        return self.stage

main.py:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

factory = NumberFactory()
numbers = []

factory.next_stage()
factory.next_stage()
factory.next_stage()

for _ in range(100000):
    numbers.append(factory.get_mutated_number(0.3))

bins = 100

plt.hist(numbers, bins, normed=True)
plt.plot(1, np.ones_like(bins))
plt.show()

Результат при выполнении этого кода показан на рисунке ниже:

Возможно, вы захотите взглянуть на «Кривые Джонсона». См. NL Johnson: Системы частотных кривых, генерируемых методами перевода. 1949 Биометрика Том 36 с. 149-176. R поддерживает их подгонку к произвольным кривым. В частности, его SB (ограниченные) кривые могут быть полезны.

Прошло 40 лет с тех пор, как я их использовал, но они были очень полезны для меня в то время, и я думаю, что они будут работать для вас.