Расчет параметров бета-распределения с использованием среднего и дисперсии

Как я могу рассчитать параметры и для бета-распределения, если я знаю среднее значение и дисперсию, которые я хочу иметь в распределении? Примеры команды R для этого были бы наиболее полезны.$\alpha$$\beta$

Я устанавливаю и и решено для и . Мои результаты показывают, что и σ2=α

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\alpha$α = ( 1 - $\beta$β=α( $$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$$ $$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$$

Я написал некоторый R-код для оценки параметров распределения Beta по заданному среднему значению mu и дисперсии var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

Там было некоторое замешательство вокруг границ и для любого данного бета-дистрибутива, поэтому давайте проясним это здесь.σ $\mu$$\sigma^2$

1. $\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
2. $\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

Вот общий способ решения этих типов проблем, используя Maple вместо R. Это работает и для других дистрибутивов:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

что приводит к решению

$$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$$

Это эквивалентно решению Макса.

В R бета-распределение с параметрами и имеет плотность$\textbf{shape1} = a$$\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ ,

для , и .$a > 0$$b >0$$0 < x < 1$

В R вы можете вычислить это

дбета (x, shape1 = a, shape2 = b)

В этой параметризации среднее значение а дисперсия . Итак, теперь вы можете следить за ответом Ника Сабби.$E(X) = \frac{a}{a+b}$$V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Хорошая работа!

редактировать

Я нахожу:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$ ,

а также

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$ ,

где и .V = V ( X $\mu=E(X)$$V=V(X)$

Например, в Википедии вы можете найти следующие формулы для среднего значения и дисперсии бета-распределения с учетом альфа и бета: и Обращение этих (заполните в нижнем уравнении) должно дать вам результат, который вы хотите (хотя это может занять некоторую работу).

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

Для обобщенного бета-распределения, определенного на интервале , у вас есть отношения:$[a,b]$

$$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$$

который можно перевернуть, чтобы получить:

$$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$$

где

$$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$$

Решите уравнение для или , решив для , вы получите Затем вставьте это во второе уравнение и решите для . Таким образом, вы получаете что упрощает до Тогда закончите решение для .$\mu$$\alpha$$\beta$$\beta$

$$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$$ $\alpha$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$$ $$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$$ $\alpha$

Я искал питона, но наткнулся на это. Так что это было бы полезно для таких, как я.

Вот код Python для оценки бета-параметров (согласно приведенным выше уравнениям):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

Вы можете проверить параметры и , импортировав пакет.$\alpha$$\beta$scipy.stats.beta