Получите совместное распределение из парного предельного распределения

Предположим, у нас есть 3 случайные величины , и мы знаем попарно маргинальное распределение P ( X 1 , X 2 ) , P ( X 2 , X 3 ) , P ( X 3 , X 1 ) , но мы больше ничего не знаем (например, условная независимость). Можем ли мы получить совместное распределение P ( X 1 , X 2 , X 3$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$?

Нет.

Рассмотрим трехвариантное распределение с двумерными (стандартными, независимыми) нормальными полями, но с половиной октантов, имеющих 0 вероятностей, и половиной с двойной вероятностью. В частности, рассмотрим октанты ---, - ++, + - +, ++ - с двойной вероятностью.

Тогда двумерные поля неотличимы от той, которую вы получите с тремя стандартными стандартными переменными. Действительно, существует бесконечность тривариатных распределений, которые давали бы одинаковые двумерные поля

Как указывает Дилип Саварте в комментариях, он обсудил по существу тот же самый пример в ответе (но обращая вспять октанты, которые удваиваются и обнуляются), и определяет его более формальным образом. Whuber упоминает пример с участием Бернулли, который (в случае тривариата) выглядит следующим образом:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... где будет каждый двумерный запас

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

и так будет эквивалентно случаю трех независимых переменных (или даже трех с точно обратной формой зависимости).

Тесно связанный пример, о котором я изначально начал писать, включал тривариатную униформу с чередующимися «кусочками» в шахматном порядке большей и меньшей вероятности (обобщая обычные ноль и двойные).

Таким образом, вы не можете вычислить тривариат из двумерных полей в целом.