Ошибка в нормальном приближении к равномерному распределению суммы

Один наивный метод для аппроксимации нормального распределения состоит в том, чтобы сложить, возможно, $100$ случайных величин IID, равномерно распределенных по $[0,1]$ , затем пересчитать их и изменить масштаб, полагаясь на Центральную предельную теорему. ( Примечание : существуют более точные методы, такие как преобразование Бокса – Мюллера .) Сумма IID $U(0,1)$случайных величин ( 0 , 1 ) известна как равномерное распределение суммы или распределениеИрвина-Холла.

Насколько велика ошибка в приближении равномерного распределения суммы нормальным распределением?

Всякий раз, когда этот тип вопроса подходит для аппроксимации суммы случайных величин IID, люди (включая меня) поднимают теорему Берри – Эссеена , которая является эффективной версией центральной теоремы о пределе, учитывая, что существует третий момент:

$$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$$

где $F_n$ - кумулятивная функция распределения для пересчитанной суммы $n$ случайных величин IID, $\rho$ - абсолютный третий центральный момент $E|(X-EX)^3|$, $\sigma$ представляет собой стандартное отклонение, а $C$ является абсолютной константой , которая может быть принята равной $1$ или даже $1/2$ .

Это неудовлетворительно. Мне кажется, что оценка Берри – Эссеена наиболее близка к точной на биномиальных распределениях, которые являются дискретными, с наибольшей ошибкой при для симметричного биномиального распределения. Самая большая ошибка происходит при самом большом прыжке. Однако равномерное распределение суммы не имеет скачков.$0$

Численные тесты показывают, что ошибка уменьшается быстрее, чем $c/\sqrt n$ .

Используя , оценка Берри-Эссеена является | F n ( x ) - Φ ( x ) | ≤ $C=1/2$

$$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$$

что для составляет около 0,205 , 0,145 и 0,103 соответственно. Фактические максимальные различия для n = 10 , 20 , 40, по- видимому, составляют около 0,00281 , 0,00139 и 0,000692 , соответственно, которые намного меньше и, по-видимому, уменьшаются как c / n вместо c / $n=10,20,40$$0.205$$0.145$$0.103$$n=10, 20, 40$$0.00281$$0.00139$$0.000692$$c/n$ .$c/\sqrt n$

Пусть будут U ( - b , b ) случайными величинами и рассмотрим нормированную сумму S n = $U_1, U_2,\dots$$\mathcal U(-b,b)$ И связанныйним SUP нормой δ п = вир х ∈ R | F n ( x ) - Φ ( x )

$$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$$ $\sup$ $$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$$ $F_n$$S_n$ .

$\delta_n$

$$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$$

Proof. See J. V. Uspensky (1937), Introduction to mathematical probability, New York: McGraw-Hill, p. 305.

This was later improved by R. Sherman to the following.

Lemma 2 (Sherman): The following improvement on the Uspensky bound holds.

$$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$$

Proof: See R. Sherman, Error of the normal approximation to the sum of N random variables, Biometrika, vol. 58, no. 2, 396–398.

The proof is a pretty straightforward application of the triangle inequality and classical bounds on the tail of the normal distribution and on $(\sin x) / x$ applied to the characteristic functions of each of the two distributions.