Почему ln [E (x)]> E [ln (x)]?

13

Мы имеем дело с логнормальным распределением в финансовом курсе, и мой учебник просто утверждает, что это правда, что я нахожу разочаровывающим, поскольку мой математический фон не очень силен, но я хочу интуицию. Кто-нибудь может показать мне, почему это так?

Chisq
источник
1
Уже здесь ответили: math.stackexchange.com/questions/21063/…
Лаксан Натан,
20
- вогнутая функция. Посмотрите на неравенство Дженсена: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequalityln
kjetil b halvorsen
Инатан: О, извините, я не нашел этого, когда искал.
Chisq

Ответы:

26

Напомним, что ex1+x

E[eY]=eE(Y)E[eYE(Y)]eE(Y)E[1+YE(Y)]=eE(Y)

Итак, eE(Y)E[eY]

Теперь, допустив, что , имеем:Y=lnX

eE(lnX)E[elnX]=E(X)

теперь беру бревна обеих сторон

E[ln(X)]ln[E(X)]


В качестве альтернативы:

lnX=lnXlnμ+lnμ (где )μ=E(X)

=ln(X/μ)+lnμ

=ln[Xμμ+1]+lnμ

Xμμ+lnμln(t+1)t

Теперь возьмите ожидания обеих сторон:

E[ln(X)]lnμ


Иллюстрация (показывающая связь с неравенством Дженсена):

( Здесь роли X и Y меняются местами так, чтобы они соответствовали осям графика; лучшее планирование поменялось бы их ролями выше, чтобы график более точно соответствовал алгебре. )

график рассеяния y = exp (x) против x для образца, показывающий неравенство, возникающее из-за кривизны в этом отношении

Сплошные цветные линии представляют средства на каждой оси.

XYY

Glen_b - Восстановить Монику
источник