$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Предположим, у нас есть $N$ независимых случайных величин $X_1$ , $\ldots$ , $X_n$ с конечными средними $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ и дисперсиями $\sigma_1^2$ , $\ldots$ , $\sigma_N^2$ . Я ищу границы без распределения для вероятности того, что любой $X_i \neq X_N$ больше, чем все другие $X_j$ , $j \neq i$ .

Другими словами, если для простоты мы предполагаем, что распределения $X_i$ непрерывны (например, $\P(X_i = X_j) = 0$ ), я ищу границы на:

$$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$$ Если $N=2$ , мы можем использовать неравенство Чебышева, чтобы получить: $$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$$ Я хотел бы найти простые (не обязательно плотно) оценки для общих $N$ , но я не смог найти (эстетический) приятные результаты для общего $N$ .

Обратите внимание, что переменные не считаются iid. Любые предложения или ссылки на связанные работы приветствуются.

---

Обновление: напомним, что по предположению $\mu_j \geq \mu_i$ . Затем мы можем использовать вышеуказанную границу для получения:

$$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$$ Это подразумевает: $$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$$ Это, в свою очередь, подразумевает: $$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$$ Теперь мне интересно, можно ли улучшить эту границу до того, что не зависит линейно от $N$ ? Например, имеет ли место следующее: $$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$$ А если нет, то что может быть контрпримером?

Вы можете использовать многомерное неравенство Чебышева.

Случай двух переменных

Для одной ситуации, против , я прихожу в ту же ситуацию, что и комментарий Йохена 4 ноября 2016 г.X $X_1$$X_2$

1) Если то P ( X 1 > X 2 ) ≤ ( σ 2 1 + σ 2 2 ) / ( μ 1 - μ 2 ) $\mu_1 < \mu_2$$P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(и мне интересно также о вашем происхождении)

Вывод уравнения 1

• используя новую переменную$X_1-X_2$
• превращая его так, чтобы он имел среднее значение в ноль
• принимая абсолютное значение
• применяя неравенство Чебышева

$$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$$

Многомерный случай

Неравенство в уравнении (1) можно изменить в многомерный случай, применив его к нескольким преобразованным переменным для каждого (обратите внимание, что они коррелированы).i < $(X_n-X_i)$$i<n$

Решение этой проблемы (многомерное и коррелированное) было описано И. Олкиным и Дж. В. Праттом. «Многомерное неравенство Чебышева» в анналах математической статистики, том 29, страницы 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

Примечание теорема 2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

в которой число переменных, и .t = ∑ k - 2 i u = ∑ ρ i j / ( $p$$t=\sum k_i^{-2}$$u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

Теорема 3.6 дает более жесткую оценку, но ее не так просто вычислить.

редактировать

Более точная оценка может быть найдена с помощью многомерного неравенства Кантелли . Это неравенство является типом, который вы использовали ранее и предоставили вам границу который острее, чем .( σ 2 1 + σ 2 2 ) / ( μ 1 - μ 2 ) $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$$(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

Я не потратил время на изучение всей статьи, но в любом случае вы можете найти решение здесь:

А. В. Маршалл и И. Олкин «Одностороннее неравенство чебышевского типа» в анналах математической статистики, том 31, стр. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(примечание позже: это неравенство для равных корреляций и недостаточной помощи. Но в любом случае ваша задача, чтобы найти самую точную границу, равна более общему, многомерному неравенству Кантелли. Я был бы удивлен, если бы решения не существовало)

Я нашел теорему, которая может вам помочь, и постараюсь приспособить ее к вашим потребностям. Предположим, у вас есть:

$$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$$

Тогда по неравенству Дженсена (поскольку exp (.) - выпуклая функция), мы получим:

$$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$$

Теперь для вы должны подключить любую функцию, генерирующую момент вашей случайной величины (поскольку это просто определение mgf). Затем, после этого (и потенциально упрощая ваш термин), вы берете этот термин и берете логарифм и делите его на t, чтобы получить утверждение о термине . Затем вы можете выбрать t с некоторым произвольным значением (лучше всего, чтобы член был маленьким, чтобы граница была жесткой). X i E ( m a x 1 ≤ i ≤ n X i$exp(t \cdot X_{i}$$X_{i}$$\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

Затем у вас есть заявление об ожидаемом значении максимума за n rvs. Чтобы получить утверждение о вероятности того, что максимум этих rv отклоняется от этого ожидаемого значения, вы можете просто использовать неравенство Маркова (предполагая, что ваш rv неотрицательный) или другой, более конкретный rv, применимый к вашему конкретному rv.