Вопрос заключается в том, что указано в заголовке: когда закон больших чисел не работает? Я имею в виду, в каких случаях частота события не будет стремиться к теоретической вероятности?
Вопрос заключается в том, что указано в заголовке: когда закон больших чисел не работает? Я имею в виду, в каких случаях частота события не будет стремиться к теоретической вероятности?
Есть две теоремы (Колмогорова), и обе требуют, чтобы ожидаемое значение было конечным. Первое имеет место, когда переменные являются IID, второе, когда выборка независима и дисперсия удовлетворяет
Скажем, что все имеют ожидаемое значение 0, но их дисперсия равна n 2 так что условие явно не выполняется. Что происходит потом? Вы все еще можете вычислить приблизительное среднее значение, но это значение не будет стремиться к 0, когда вы выбираете глубже и глубже. Это будет иметь тенденцию отклоняться все больше и больше, когда вы продолжаете выборку.
Давайте приведем пример. Скажем, что является равномерным U ( - n 2 n так что указанное выше условие не выполняется эпически.
Отмечая, что
по индукции мы видим, что вычисленное среднее всегда находится в интервале ( - 2 n , 2 n ) . Используя ту же формулу для п + 1 , мы видим , что всегда есть шанс больше , чем 1 / 8 , что ˉ X п + 1 лежит вне ( - 2 п . Действительно, X n + 1 является равномернымU(-2n+1,2n+1)и лежит снаружи(-2n,2 с вероятностью 1 / . С другой стороны, нв(-2л,2л)по индукции, асилу симметрии она положительна с вероятностью1/2. Из этих наблюдений непосредственно следуетчто ˉ Х п+1большечем2лили меньше-2л, каждый с вероятностью большечем1/16. Поскольку вероятность того, что| ˉ X n+1| > больше 1 , не может быть сходимость к 0 при п стремится к бесконечности.
Теперь, чтобы конкретно ответить на ваш вопрос, рассмотрим событие . Если я правильно понял, вы спросите: «При каких условиях следующее утверждение неверно?»
где является индикаторной функцией события A , т.е. 1 A ( X k ) = 1, если X k ∈ A и 0 в противном случае и X k распределены одинаково (и распределены как ).
тогда соотношение будет равно 1 или 0, независимо от значения , поэтому сходимости не происходит (если только имеет вероятность 0 или 1, конечно). Это фальшивый и экстремальный пример. Мне не известны практические случаи, когда сближение с теоретической вероятностью не произойдет. Тем не менее, потенциальность существует, если выборка не является независимой.