Устойчиво ли распределение Пуассона и существуют ли формулы обращения для MGF?

Во-первых, у меня вопрос о том, является ли распределение Пуассона "стабильным" или нет. Очень наивно (и я не слишком уверен в «стабильных» распределениях), я разработал распределение линейной комбинации распределенных по Пуассону RV, используя продукт MGF. Похоже, я получаю еще один Пуассон с параметром, равным линейной комбинации параметров отдельных RV. Итак, я делаю вывод, что Пуассон является «стабильным». Что мне не хватает?

Во-вторых, существуют ли формулы обращения для MGF, как для характеристической функции?

distributions poisson-distribution mgf Фрэнк
источник

Он замкнут относительно (независимых) сумм , но не произвольных линейных комбинаций. Если вы включите свою работу, я подозреваю, что вы в конечном итоге поймете, почему в процессе; и, если нет, кто-то сможет указать на это. Да, есть некоторые аналоги инверсии характеристических функций. Что вы знаете об преобразовании Лапласа и контурной интеграции Бромвича?

кардинал

Хорошо, я вернусь к чертежной доске. У меня есть MGF i-го Пуассона как: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Таким образом, произведение n пуассоновских MGF дает мне: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)), и я беру новый lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Теперь я боюсь, что выгляжу глупо из-за очевидной ошибки. - Я знаю об преобразовании Лапласа и контурной интеграции в целом, но не об интеграции Бромвиша с контуром. - Вы бы порекомендовали работать с CF, а не с MGF в целом? Это кажется более мощным.

Фрэнк

Что такое

в вашем комментарии? Кроме того, окружите ваш math-LaTeX знаками доллара, чтобы заставить его работать (используя \ exp, чтобы «exp» выглядел правильно, и \ lambda, чтобы сделать

, \ sum для

и т. Д.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

jbowman

Да, я не очень хорош в LaTex, но здесь идет. Итак, моя линейная комбинация RV:

, и произведение их MGF равно:

Σ_{я знак равно 0}^{N} α_{я} {Икс}_{я}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

, если Я правильно, если РВС распределены

ехр (Σ_{я знак равно 0}^{N} α_{я} λ_{я} (ехр (T_{я}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$ , Я использовал один и тот же t для всех RV, но мне нужно использовать

t_{i}

$t_{i}$

Фрэнк

Ошибка состоит в том, что MGF для

является

а не

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

gui11aume

Ответы:

Линейные комбинации пуассоновских случайных величин

Как вы уже рассчитали, момент-функция распределения Пуассона с учетом скорости равна $\lambda$

м_{Икс} (T) знак равно Е е^{T Икс} знак равно е^{λ (е^{T} - 1)},

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Теперь, давайте сосредоточимся на линейной комбинации независимых Пуассона случайных величин и . Пусть . Тогда $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

м_{Z} (T) знак равно Е е^{T Z} знак равно Е е^{T (a Икс + б Y)} знак равно Е е^{T (a Икс)} Е е^{T (б Y)} знак равно м_{Икс} (a T) м_{Y} (б T),

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Итак, если имеет скорость а имеет скорость , мы получаем $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$ И это не может, в общем, можно записать в виде

м_{Z} (T) знак равно ехр (λ_{Икс} (е^{a T} - 1)) ехр (λ_{Y} (е^{б T} - 1)) знак равно ехр (λ_{Икс} е^{a T} + λ_{Y} е^{б T} - (λ_{Икс} + λ_{Y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

при некотором

исключением случаевкогда

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Обращение моментообразующих функций

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

Инверсию затем можно выполнить либо через интеграл Бромвича, либо по формуле инверсии Поста . Вероятностная интерпретация последнего может быть найдена в качестве упражнения в нескольких классических вероятностных текстах.

Хотя это и не связано напрямую, вас также может заинтересовать следующее примечание.

JH Curtiss (1942), Заметка по теории производящих момент функций , Ann. Математика Стат. том 13, нет. 4, с. 430–433.

Связанная теория чаще всего развивается для характеристических функций, поскольку они являются полностью общими: они существуют для всех распределений без поддержки или ограничения момента.

кардинальный
источник

(+1) Формула обращения чисто теоретическая или в действительности она иногда используется?

gui11aume

@ gui11aume: используется местами; но примеры, которые вы обычно находите в тексте, обычно являются примерами, для которых вам это не нужно. :)

кардинал

Итак, по-видимому, легче работать с CF, чем с MGF? MGF не всегда существуют, верно? Зачем с ними беспокоиться?

Фрэнк

@Frank: Педагогически их легче представить студентам, которые знают исчисление, но мало или совсем не имеют опыта в сложных переменных. Когда они существуют, они имеют свойства, полностью аналогичные свойствам CF. Они играют важную роль в некоторых частях теории вероятностей и теоретической статистики, например, большие отклонения и экспоненциальный наклон.

кардинал

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

Я не знаю формул обращения для MGF (но, кажется, @cardinal).

gui11aume
источник

(+1) Потому что мне нравятся простые иллюстративные доказательства и контрпримеры, которые сразу же выдвигают на первый план суть дела.

кардинал

У меня вопрос по терминологии. В статистике, которую я изучал, стабильные распределения были теми границами распределений, которые удовлетворяли условию сходимости, называемому устойчивым законом. Это непрерывные ненормальные распределения. Это распределение для пределов нормированного среднего Z, но центральная предельная теорема не применяется к Z из-за хвостового поведения распределения населения. На самом деле центральная предельная теорема может принадлежать устойчивым законам, если определенный параметр альфа = 2.

Майкл Р. Черник

То, что вы называете здесь стабильным, ближе к суммам, которые мне кажутся больше похожими на термин бесконечно делимых. В каких областях термин стабильный используется для этого? Используется ли оно в вероятности и статистике?

Майкл Р. Черник

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$