Как взять производную многомерной нормальной плотности?

Скажем, у меня есть многомерная нормальная плотность . Я хочу получить вторую (частичную) производную по . Не уверен, как взять производную от матрицы.$N(\mu, \Sigma)$$\mu$

Вики говорит, что нужно брать производный элемент за элементом внутри матрицы.

Я работаю с приближением Лапласа Режим .

$$\log{P}_{N}(\theta)=\log {P}_{N}-\frac{1}{2}{(\theta-\hat{\theta})}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat{\theta}) \>.$$
$\hat\theta=\mu$

Мне дали как это случилось?

$${\Sigma}^{-1}=-\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}\log p(\hat{\theta }|y),$$

Что я сделал:

$$\log P(\theta|y) = -\frac{k}{2} \log 2 \pi - \frac{1}{2} \log \left| \Sigma \right| - \frac{1}{2} {(\theta-\hat \theta)}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat\theta)$$

Итак, я беру производную по , во-первых, это транспонирование, во-вторых, это матрица. Итак, я застрял.$\theta$

Примечание: если мой профессор сталкивается с этим, я имею в виду лекцию.

В главе 2 Матричной поваренной книги есть хороший обзор материала матричного исчисления, который дает много полезных тождеств, которые помогают решать проблемы, с которыми можно столкнуться при выполнении вероятности и статистики, включая правила, помогающие дифференцировать многомерную гауссовскую вероятность.

Если у вас есть случайный вектор который является многомерной нормалью со средним вектором и ковариационной матрицей , то используйте уравнение (86) в поваренной книге матрицы, чтобы найти градиент логарифмическая вероятность относительно равна${\boldsymbol y}$${\boldsymbol \mu}$${\boldsymbol \Sigma}$${\bf L}$${\boldsymbol \mu}$

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \mu}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \mu}} \right) \nonumber \\ &= -\frac{1}{2} \left( -2 {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) \right) \nonumber \\ &= {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \end{align}$$

Я оставлю это вам, чтобы разграничить это снова и найти ответ: .$-{\boldsymbol \Sigma}^{-1}$

В качестве «дополнительного кредита» используйте уравнения (57) и (61), чтобы определить, что градиент по отношению к равен${\boldsymbol \Sigma}$

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \log(|{\boldsymbol \Sigma}|)}{\partial{\boldsymbol \Sigma}} + \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y}- {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \Sigma}} \right)\\ &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) \end{align}$$

Я пропустил много шагов, но я сделал этот вывод, используя только идентификаторы, найденные в матричной поваренной книге, поэтому я оставлю это вам, чтобы заполнить пробелы.

Я использовал эти уравнения для оценки максимального правдоподобия, поэтому я знаю, что они правильные :)

Вам нужно убедиться, что вы правильно позаботились о повторяющихся элементах в , иначе ваши производные будут неверными. Например, (141) Matrix Cookbook дает для симметричной следующие производные$\mathbf{\Sigma}$$\mathbf{\Sigma}$

$$\begin{align} \frac{\partial \log|\mathbf{\Sigma}|}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$$

И (14) Дифференцирования функций ковариационных матриц дает

$$\begin{align} \frac{\partial \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$$

где обозначает произведение Хадмарда, и для удобства мы определили .$\circ$$\mathbf{x}:=\mathbf{y}-\mathbf{\mu}$

Обратите внимание, в частности, это не то же самое, что когда симметричность не навязывается. В результате мы имеем это$\mathbf{\Sigma}$

$$\begin{align} \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left(D\log|2\pi|+ \log|\mathbf{\Sigma}| + \mathbf{x}^{\top}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x})\right)\\ &=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left( \log|\mathbf{\Sigma}| + \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\left( 2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) -2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I)\right) \end{align}$$

где обозначает размерность , и и производную отэто 0$D$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$\mathbf{\mu}$$D\log|2\pi|$

Это обеспечивает то элемент в соответствует .$i,j^{th}$$\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}$$\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}_{ij}}$

Я попытался вычислительно проверить ответ @ Macro, но обнаружил, что кажется незначительной ошибкой в ​​ковариационном решении. Он получил Однако оказывается, что на самом деле правильным решением является Следующий скрипт R предоставляет простой пример, в котором конечная разница вычисляется для каждого элемента . Это показывает, что

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) ={\bf A} \end{align}$$ $${\bf B}=2{\bf A} - \text{diag}({\bf A})$$ ${\boldsymbol \Sigma}$${\bf A}$обеспечивает правильный ответ только для диагональных элементов, в то время как является правильным для каждой записи.${\bf B}$

library(mvtnorm)

set.seed(1)

# Generate some parameters
p <- 4
mu <- rnorm(p)
Sigma <- rWishart(1, p, diag(p))[, , 1]

# Generate an observation from the distribution as a reference point
x <- rmvnorm(1, mu, Sigma)[1, ]

# Calculate the density at x
f <- dmvnorm(x, mu, Sigma)

# Choose a sufficiently small step-size
h <- .00001

# Calculate the density at x at each shifted Sigma_ij
f.shift <- matrix(NA, p, p)
for(i in 1:p) {
  for(j in 1:p) {
    zero.one.mat <- matrix(0, p, p)
    zero.one.mat[i, j] <- 1
    zero.one.mat[j, i] <- 1

    Sigma.shift <- Sigma + h * zero.one.mat
    f.shift[i, j] <- dmvnorm(x, mu, Sigma.shift)
  }
}

# Caluclate the finite difference at each shifted Sigma_ij
fin.diff <- (f.shift - f) / h

# Calculate the solution proposed by @Macro and the true solution
A <- -1/2 * (solve(Sigma) - solve(Sigma) %*% (x - mu) %*% t(x - mu) %*% solve(Sigma))
B <- 2 * A - diag(diag(A))

# Verify that the true solution is approximately equal to the finite difference
fin.diff
A * f
B * f