Доказательство того, что если существует более высокий момент, то существует и более низкий момент

-й момент случайной величины является конечным , если $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Я пытаюсь показать , что для любого натурального , то -го момента также конечно. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function нона
источник

Это домашнее задание? Если да, то что вы пробовали до сих пор? Кроме того, я постарался сделать ваш вопрос более читабельным, пожалуйста, дайте мне знать, если я допустил ошибку.

Gschneider

Я прочитал учебник Биллингсли и искал в Интернете, но точных доказательств не существует. То, что я обнаружил, - это просто ключ, возможно, можно использовать неравенство Дженсена.

Нона

Рассмотрим переписываниекаки посмотрим, получится ли это где-нибудь.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

Gschneider

Существует разница между моментом существующего и бытием конечным . В частности, момент может существовать, но быть бесконечным. Терминология, с которой вы знакомитесь, немного неточна. В любом случае это стандартный результат о пространствах ; неверно, что «точного доказательства не существует». :)

L_{p}

$L_p$

кардинал

Ответы:

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

Stask
источник

Хорошо. Вы также можете доказать это с помощью неравенства Дженсена.

Стефан Лоран

(+1) Мне это нравится, потому что оно опирается только на самые основные свойства ожидания, а именно на монотонность. Если кто-то беспокоится о том, что делать с правой частью, они могут заметить, что . Если кто-то предпочитает приложение Jensen, они могут написать и заметить, что .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

кардинал

@cardinal: (+1) Я предпочитаю ваше неравенство, так как оно напрямую связано с ...

| X |^{r}

$|X|^r$

Сиань