Гармоническое среднее минимизирует сумму квадратов относительных ошибок

Я ищу ссылку, где доказано, что гармоническое среднее

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

минимизирует (в $z$ ) сумму квадратов относительных ошибок

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

references mean error weighted-regression harmonic-mean Мартин Ван дер Линден
источник

Ответы:

Зачем вам нужна ссылка? Это простая проблема исчисления: чтобы задача, как вы ее сформулировали, имела смысл, мы должны предположить, что все . Затем определите функцию $x_i > 0$ Затем вычислите производную по:

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

тогда решение уравнения

дает решение. Теперь, конечно, мы должны проверить, что это действительно минимум, для этого вычислить вторую производную:

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

для последнего неравенства, которое мы использовали, наконец, что все

. Без этого предположения мы действительно могли бы рискнуть тем, что нашли максимум!

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

Что касается ссылки, может быть https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean или https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean или ссылки там.

Къетил б Халворсен
источник

Спасибо за Ваш ответ. Ссылка сэкономит мне немного места. Я хочу привести результат в виде леммы в другое доказательство, не включая отдельное доказательство леммы.

Мартин Ван дер Линден

Трудно найти явную ссылку, его считают основным, чтобы заслужить! Разве вы не можете просто сказать, что доказательство является основным упражнением в исчислении?

Къетил б Халворсен

Как бы я ни был базов, я всегда предпочитаю указывать ссылки. Но я понимаю, что на основные результаты трудно найти ссылку, и предоставление доказательства читателю, безусловно, является вариантом.

Мартин Ван дер Линден

Временный не по теме пинг: рассмотрите возможность голосования здесь за синоним spearman-> spearman-rho spearman- stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms . Спасибо

амеба говорит Восстановить Монику

Вы могли бы указать, что это регрессия взвешенных наименьших квадратов $1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

КЕД .

Тот же анализ применяется к любым положительным наборам весов, обеспечивая обобщение среднего гармонического и полезный способ его характеризации.
Когда, как в контролируемом эксперименте, $x_i$
$x_i$ $W$

Ссылка

Дуглас С. Монтгомери, Элизабет А. Пек и Дж. Джеффри Вайнинг, Введение в анализ линейной регрессии. Пятое издание. J. Wiley, 2012. Раздел 5.5.2.

Whuber
источник

Гармоническое среднее минимизирует сумму квадратов относительных ошибок

Ответы:

Комментарии

Ссылка