Почему в функции плотности распределения бета -1?

Бета-распределение появляется при двух параметризации (или здесь )

или тот, который, кажется, используется чаще

Но почему именно « » во второй формуле?$-1$

Кажется, что первая формулировка более точно соответствует биномиальному распределению

но «видно» из точки зрения «s$p$ . Это особенно очевидно в бета-биномиальной модели, где можно понимать как предыдущее число успехов, а - это предыдущее количество неудач.$\alpha$$\beta$

Так почему именно вторая форма завоевала популярность и в чем ее причина ? Каковы последствия использования любой из параметризации (например, для связи с биномиальным распределением)?

Было бы замечательно, если бы кто-то мог дополнительно указать источник такого выбора и исходные аргументы для него, но это не является необходимостью для меня.

Это история о степенях свободы и статистических параметрах, а также о том, что хорошо, что они имеют прямую простую связь.

Исторически, термины « » появились в исследованиях Эйлера функции Бета. Он использовал эту параметризацию к 1763 году, как и Адриен-Мари Лежандр: их использование установило последующее математическое соглашение. Эта работа предшествует всем известным статистическим приложениям.$-1$

Современная математическая теория дает множество указаний, благодаря множеству приложений в анализе, теории чисел и геометрии, что термины « » на самом деле имеют некоторое значение. Я набросал некоторые из этих причин в комментариях к вопросу.$-1$

Более интересным является то, какой должна быть «правильная» статистическая параметризация. Это не так ясно, и это не должно совпадать с математическим соглашением. Существует огромная сеть широко используемых, хорошо известных, взаимосвязанных семейств распределений вероятностей. Таким образом, соглашения, используемые для именования (то есть параметризации) одного семейства, обычно подразумевают связанные соглашения для именования связанных семейств. Измените одну параметризацию, и вы захотите изменить их все. Поэтому мы могли бы посмотреть на эти отношения для подсказок.

Мало кто не согласится с тем, что наиболее важные семьи распределения происходят из нормальной семьи. Напомним , что случайная величина называется «нормально распределены» , когда ( Х - μ ) / σ имеет плотность вероятности п ( х ) , пропорциональный ехр ( - х 2 / 2 ) . Когда σ = 1 и µ = 0 , говорят , что X имеет стандартное нормальное распределение.$X$$(X-\mu)/\sigma$$f(x)$$\exp(-x^2/2)$$\sigma=1$$\mu=0$$X$

Многие наборы данных изучаются с использованием относительно простой статистики, включающей рациональные комбинации данных и малые мощности (обычно квадраты). Когда эти данные моделируются как случайные выборки из нормального распределения - так что каждый x i рассматривается как реализация нормальной переменной X i , все X i имеют общее распределение и независимы - распределения этих статистических данных. определяются этим нормальным распределением. На практике чаще всего возникают$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_i$$X_i$$X_i$

1. ,распределениеСтьюдента t с ν = n - 1 «степенями свободы». Это распределение статистики t = ˉ $t_\nu$$t$$\nu = n-1$ где ˉ X =(X1+X2+⋯+Xn)/nмоделирует среднее значение данных иse(X)=(1/

   $$t = \frac{\bar X}{\operatorname{se}(X)}$$ $\bar X = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$ - стандартная ошибка среднего. Деление наn-1показывает, чтоnдолжно быть2или больше, откудаνявляется целым числом1или больше. Формула, хотя и немного сложная, является корнем квадратным из рациональной функции данных второй степени: она относительно проста.$\operatorname{se}(X) = (1/\sqrt{n})\sqrt{(X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_n^2)/(n-1) - \bar X^2}$$n-1$$n$$2$$\nu$$1$

2. , χ 2 распределения (хи-квадрат)с v , "степеней свободы" (ДФ). Это распределение суммы квадратов ν независимых стандартных нормальных переменных. Следовательно, распределение средних квадратов этих переменных будетраспределением χ 2, масштабированным на 1 / ν : я буду называть это «нормализованным»распределением χ 2 .$\chi^2_\nu$$\chi^2$$\nu$$\nu$$\chi^2$$1/\nu$$\chi^2$

3. ,в F распределение коэффициента с параметрами ( ν 1 , ν 2 ) представляет собой отношение двух независимых нормированная х 2 распределений с v , 1 и ν 2 степенями свободы.$F_{\nu_1, \nu_2}$$F$$(\nu_1, \nu_2)$$\chi^2$$\nu_1$$\nu_2$

Математические расчеты показывают, что все три из этих распределений имеют плотности. Важно отметить, что плотность распределения пропорциональна подынтегральному выражению в интегральном определении Эйлера функции Гамма ( Γ ). Давайте сравним их:$\chi^2_\nu$$\Gamma$

Это показывает, что дважды переменная имеет гамма-распределение с параметром ν / 2 . Половина коэффициента достаточно мешающая, но вычитание 1 сделало бы отношения намного хуже. Это уже поставляет убедительный ответ на вопрос: если мы хотим , чтобы параметр с χ 2 распределения , чтобы подсчитать количество квадратов нормальных переменные , которые производят его ( с точностью до множителя из 1 / 2 ), то показателя в его функции плотности сусла быть на половину меньше. $\chi^2_\nu$$\nu/2$$1$$\chi^2$$1/2$

Почему фактор меньше неприятностей , чем разница в 1 ? Причина в том, что этот фактор останется неизменным, когда мы все сложим. Если сумма квадратов n независимых стандартных нормалей пропорциональна гамма-распределению с параметром n (умноженным на некоторый коэффициент), то сумма квадратов m независимых стандартных нормалей пропорциональна гамма-распределению с параметром m (умноженным на тот же коэффициент) откуда сумма квадратов всех n + m переменных пропорциональна гамма-распределению с параметром m + n (все еще раз тот же коэффициент). $1/2$$1$$n$$n$$m$$m$$n+m$$m+n$Тот факт, что добавление параметров так близко имитирует добавление счетчиков, очень полезно.

Однако, если бы мы убрали эту надоедливую " " из математических формул, эти хорошие отношения стали бы более сложными. Например, если мы изменили параметризацию гамма-распределений так, чтобы они ссылались на фактическую степень x в формуле, чтобы распределение χ 2 1 было связано с распределением «Gamma ( 0 ) » (так как степень x в его PDF равен 1 - 1 = 0 ), тогда сумму трех χ 2 1 распределений нужно было бы назвать «Гамма ( 2 $-1$$x$$\chi^2_1$$(0)$$x$$1-1=0$$\chi^2_1$$(2)$"распределение. Короче говоря, тесная аддитивная связь между степенями свободы и параметром в гамма-распределениях будет потеряна, если удалить формулу из формулы и поглотить ее в параметре.$-1$

Точно так же функция вероятности распределения отношения тесно связана с бета-распределениями. Действительно, когда Y имеет F распределение коэффициента, распределение Z = ν 1 Y / ( ν 1 Y + ν 2 ) имеет бета ( ν 1 / 2 , ν 2 / 2 ) распределения. Его функция плотности пропорциональна$F$$Y$$F$$Z=\nu_1 Y/(\nu_1 Y + \nu_2)$$(\nu_1/2, \nu_2/2)$

Кроме того, принимая эти идеи по кругу, квадрат распределения Стьюдента с ν df имеет F- отношение с параметрами ( 1 , ν ) . Еще раз очевидно, что поддержание традиционной параметризации поддерживает четкую связь с основными показателями, которые способствуют степеням свободы.$t$$\nu$$F$$(1,\nu)$

Таким образом, со статистической точки зрения было бы наиболее естественным и простым использовать вариант традиционных математических параметризаций распределений и бета: мы бы предпочли называть распределение Γ ( α ) « распределением Γ ( 2 α ) ». и бета ( α , β ) распределение следует называть «бета ( 2 α , 2 β ) распределением». Фактически, мы уже сделали это: именно поэтому мы продолжаем использовать имена "хи-квадрат" и " $\Gamma$$\Gamma(\alpha)$$\Gamma(2\alpha)$$(\alpha, \beta)$$(2\alpha, 2\beta)$$F$Соотношение "распределение вместо" Гамма "и" Бета ". Независимо от того, мы ни в коем случае не хотим удалять термины " ", которые появляются в математических формулах для их плотности.$-1$ Если бы мы сделали это, мы потеряли бы прямую связь между параметрами в плотностях и количеством данных, с которыми они связаны: мы всегда были бы на единицу.

Запись вводит вас в заблуждение. Существует «скрытый » в формуле ( 1 ) , так как в ( 1 ) , альфа и β должны быть больше , чем - 1 (второе звено вы указали в своем вопросе говорит , что это явно). Α «s и β » s в этих двух формулах не являются теми же самыми параметрами; они имеют разные диапазоны: в ( 1 ) , α , β > - 1 и в ( 2 ) , α , $-1$$(1)$$(1)$$\alpha$$\beta$$-1$$\alpha$$\beta$$(1)$$\alpha,\beta>-1$$(2)$ . Эти диапазоны для α и β необходимы, чтобы гарантировать, что интеграл плотности не расходится. Чтобы увидеть это, рассмотрим в ( 1 ) случай α = - 1 (или меньше) и β = 0 , затем попытайтесьинтегрироватьплотность (ядро) между 0 и 1 . Эквивалентно, попробуйте то же самое в ( 2 ) для α = 0 (или меньше) и β = 1 .$\alpha,\beta>0$$\alpha$$\beta$$(1)$$\alpha=-1$$\beta=0$$0$$1$$(2)$$\alpha=0$$\beta=1$

Для меня наличие -1 в показателе степени связано с развитием гамма-функции. Мотивация гамма-функции - найти плавную кривую, соединяющую точки факториала $x!$, Поскольку невозможно вычислить $x!$непосредственно, если $x$ не является целым числом, идея состояла в том, чтобы найти функцию для любого $x \geq 0$ которая удовлетворяет рекуррентному соотношению, определенному факториалом, а именно

$f(1)=1\\ f(x+1)=x \cdot f(x).$

Решение было с помощью сходимости интеграла. Для функции, определенной как

$f(x+1) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt,$

Интеграция по частям обеспечивает следующее:

$\begin{align} f(x+1) & = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt \\ & = \Big[-t^{x}e^{-x} \Big]^{\infty}_{0} + \displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= \lim_{x \to \infty} (-t^{x}e^{-x}) - 0 \cdot e^{-0} + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= 0 - 0 + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= x \cdot f(x) . \end{align}$

Таким образом, вышеприведенная функция удовлетворяет этому свойству, а -1 в показателе степени получается из процедуры интегрирования по частям. Смотрите статью в Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function .

Изменить: я прошу прощения, если мой пост не полностью ясно; Я просто пытаюсь указать, что, по моей идее, существование -1 в бета-распределении происходит от обобщения факториала посредством гамма-функции. Есть два условия: $f(1)=1$ и $f(x+1)=x \cdot f(x)$ . Мы имеем $\Gamma(x) = (x-1)!$следовательно, оно удовлетворяет $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) = x \cdot (x-1)! = x!$, Кроме того, имеем$\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$ . Что касается бета-распределения с параметрами$\alpha, \beta$ , то обобщение биномиального коэффициента имеет вид$\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)} = \dfrac{(\alpha + \beta - 1)!}{(\alpha-1)! \cdot (\beta-1)!}$, Там у нас есть -1 в знаменателе, для обоих параметров.