Как , полярная координата, распределяется, когда и когда ?

19

Пусть декартовы координаты случайной точки выбраны st .x,y(x,y)U(10,10)×U(10,10)

Таким образом, радиус, , не равномерно распределены как следует из «ы PDF .ρ=x2+y2ρ

Тем не менее, я ожидал бы, что будет почти равномерным, исключая артефакты из-за 4 остатков по краям:θ=arctanyx

введите описание изображения здесь

Ниже приведены grafically расчетные функции плотности вероятности из и : θρвведите описание изображения здесь

Теперь, если я позволю быть распределенными st то кажется равномерно распределенным:x,yx,yN(0,202)×N(0,202)θ

введите описание изображения здесь

Почему не является равномерным, когда и является равномерным, когда ?θ(x,y)U(10,10)×U(10,10)x,yN(0,202)×N(0,202)

Код Matlab, который я использовал:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Подстановка 3-й строки: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);с r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;изменит распределение с нормального на равномерное.(x,y)

0x90
источник
5
Вопрос выглядит красивее и красивее при каждом редактировании, а название вопроса более четкое и лаконичное. Хорошо сделано @ 0x90.
Майкл Р. Черник
3
+1. Интересно, что нормальное распределение является единственным, которое приводит к равномерно распределенным углам (то есть к симметричному вращательному 2D-распределению), см. Stats.stackexchange.com/a/255417/28666 .
говорит амеба, восстанови Монику

Ответы:

13

Вы имеете в виду преобразование пары независимых переменных в полярное представление (радиус и угол), а затем смотрите на предельное распределение .(X,Y)(R,θ)θ

Я собираюсь предложить несколько интуитивное объяснение (хотя математический вывод плотности по существу делает то, что я описываю неформально).

Обратите внимание, что если вы масштабируете две переменные, X и Y по некоторой общей шкале (например, переходите от U (-1,1) к U (-10,10) или от N (0,1) до N (0,20) на обе переменные одновременно) это не имеет никакого значения для распределения угла (это влияет только на масштаб распределения радиуса). Итак, давайте просто рассмотрим единичные случаи.

Сначала рассмотрим, что происходит с единообразным делом. Обратите внимание, что распределение равномерно по единичному квадрату, так что плотность вероятности в области, которая содержится в пределах , пропорциональна площади области. В частности, посмотрите на плотность, связанную с элементом угла вблизи горизонтали (вблизи угла ) и диагонали (вблизи угла ):[1,1]2dθθ=0θ=π/4

enter image description here

Ясно, что элемент вероятности (т.е. площадь), соответствующий элементу угла ( ), больше, когда угол находится вблизи одной из диагоналей. Действительно подумайте надписать круг внутри квадрата; площадь, охватываемая заданным крошечным углом внутри круга, является постоянной, и затем часть вне круга увеличивается по мере приближения к диагонали, где она максимальна.dfθdθ

Это полностью объясняет шаблон, который вы видите в симуляциях.

Действительно, мы можем видеть, что плотность должна быть пропорциональна длине отрезка от центра квадрата до его края; простой тригонометрии достаточно, чтобы получить плотность оттуда, и тогда легко найти постоянную, необходимую для интегрирования плотности в 1.

[Изменить: добавлен следующий бит для обсуждения радиуса, поскольку вопрос изменился с момента моего первоначального ответа.]

Обратите внимание, что если бы мы имели равномерное распределение по единичной окружности (то есть той, которую мы вписали в квадрат раньше), то плотность радиуса для этого была бы пропорциональна радиусу (рассмотрим площадь небольшого кольцевого элемента шириной при радиус - т.е. между и - имеет площадь, пропорциональную ). Затем, когда мы выходим за пределы круга, новые кольцевые области с большим радиусом получают вклады плотности только от части в квадрате, поэтому плотность уменьшается (сначала довольно быстро, затем медленнее) между и . (Опять же, достаточно простых геометрических понятий достаточно, чтобы получить функциональную форму плотности, если это необходимо.)drrrr+drr12


Напротив, если совместное распределение является вращательно-симметричным относительно начала координат, тогда элемент вероятности под некоторым углом не зависит от угла (это по сути тавтология!). Бивариатное распределение двух независимых стандартных гауссианов вращательно-симметрично относительно начала координат:

enter image description here

(код этого изображения на основе кода Elan Коэна здесь , но есть хорошая альтернатива здесь , и что - то между ними здесь )

Следовательно, объем, содержащийся в некотором угле одинаков для каждого , поэтому плотность, связанная с этим углом, является постоянной на .dθθ[0,2π)

[Полярный трюк, обычно используемый для интегрирования нормальной плотности по реальной линии, может быть использован для выяснения того, что плотность квадрата радиуса является отрицательной экспоненциальной, и отсюда плотность радиуса легко определить с помощью простого аргумента преобразования из функция распределения]

Glen_b - Восстановить Монику
источник
4
Четыре пика в распределении действительно обусловлены четырьмя углами квадрата ( - 10 , 10 ) 2 . Обратите внимание, что любое сферически-симметричное распределение приведет к равномерному распределению на θ , начиная с униформ на сферах и окружностях с центром в ( 0 , 0 ) . θ(10,10)2θ(0,0)
Сиань
2
+1. Интересно, что нормальное распределение является единственным, которое приводит к вращательно-симметричному 2D-распределению, см. Stats.stackexchange.com/a/255417/28666 . Это было удивительно для меня.
говорит амеба, восстанови Монику
3
@amoeba Да, это единственное круговое симметричное распределение, которое является продуктом независимых полей.
Glen_b
2
Я думаю, что это довольно удивительно. Подумайте об этом в своем ответе!
говорит амеба: восстанови
6

Я отвечу на вопрос о нормальном случае, приводящем к равномерному распределению. Хорошо известно, что если и Y независимы и нормально распределены, контуры с постоянной плотностью вероятности представляют собой окружность в плоскости x - y . Радиус R = XYxy имеетраспределение Рэлея. Для хорошего обсуждения этого в статье в Википедии под названием Рэли распределения.R=X2+Y2

Теперь давайте посмотрим на случайные величины и Y, используя полярные координаты.XY

, Y = r sin ( θ ) . обратите внимание, что X 2 + Y 2 = r 2 . Если θ равномерно на ( 0 , 2 π ) и r имеет распределение Рэлея, то X и Y будут независимыми нормалями, каждая из которых имеетсреднее значение 0 и общую дисперсию. Обратное также верно. Доказательство обратного - это то, что, по моему мнению, ФП хочет получить как ответ на вторую часть вопроса.X=rcos(θ)Y=rsin(θ)X2+Y2=r2θ(0,2π)rXY0

Вот набросок доказательства. Без ограничения общности можно предположить, что распределено N ( 0 , 1 ), а Y распределено N ( 0 , 1 ) и не зависит друг от друга.XN(0,1)YN(0,1)

Тогда совместная плотность . Используйте преобразование в полярные координаты, чтобы получить g ( r , θ ) . Поскольку x = r sin ( θ ) и y = r cos ( θ ) . Так гf(x,y)=(1/2π)exp[([x2+y2])/2]g(r,θ)x=rsin(θ)y=rcos(θ) иθ=арктан(х/у). Вычислить якобиан преобразования и сделать соответствующую замену наf(x,y). в результатеg(r,θ)будетrexp[(-r2)/(2π)]дляr0и0θr=x2+y2θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(r2)/(2π)]r0 . Это показывает, что r и тета не зависят от r, имеющего распределение Рэлея, а тета имеет постоянную плотность 1 / ( 2 π ) .0θ2πrr1/(2π)

Майкл Р. Черник
источник
Это означает, что если вы посмотрите на высоту двумерной плотности на фиксированном радиальном расстоянии от центра (в данном случае начала координат), это будет одинаковое значение во всех точках этого круга.
Майкл Р. Черник
@ 0x90 Да, ваша ссылка показывает один из способов увидеть это - посмотреть на квадратичную форму в показателе плотности. Таким образом, в общем случае для двумерного нормального параметра, экспонента которого является постоянной, определяет контуры постоянной плотности, и это уравнение является одним из эллипсов. в особом случае, когда ковариационная матрица является матрицей масштабированного тождества, эллипс упрощается до круга.
Майкл Р. Черник
2
Я думаю, что есть более простой способ увидеть однородность: для независимой нормальной со средним значением 0 легко показать, что их отношение Коши ( 0 , 1 ) . Поскольку CDF Коши просто масштабирует и переводит арктан , по вероятности интегральное преобразование арктан ( X / Y ) является просто сдвинутой и масштабированной стандартной равномерной случайной величиной. X,Y0Cauchy(0,1)arctan arctan(X/Y)
Фрэнсис
1
@Francis В основном я благодарен за ваше тщательное редактирование всех моих уравнений. Я также хочу сказать, что ваш комментарий выше определенно демонстрирует творческий подход к решению проблемы единообразия с тета. Я уверен, что некоторые согласятся, что это легче.
Майкл Р. Черник
6

Чтобы завершить довольно хорошие ответы, данные Гленом и Майклом, я просто вычислю плотность когда распределение ( X , Y ) равномерно по квадрату [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] . Эта равномерная плотность равна 1θ(X,Y)[1,1]×[1,1] на этом квадрате,0 вдругом месте - то есть вероятность выборки точки в данной области квадрата равна1140 площадь этого региона.14

Область интереса для нашего вопроса - красный сектор на этом рисунке: square with a shaded sector

θθ+dθθθ+dθθ

θ[π4,π4]π2

1cosθ

1cos(θ+dθ)=1cosθ+sinθcos2θdθ.

abα12absinα

12(1cosθ)(1cosθ+sinθcos2θdθ)sindθ=dθ2cos2θ
(we neglect higher powers of dθ and use sindθ=dθ).

Thus the density of θ is

18cos2θ
for θ in [π4,π4], and is π2 periodic.

Verification:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )

histogramm + density

Elvis
источник