Пусть декартовы координаты случайной точки выбраны st .
Таким образом, радиус, , не равномерно распределены как следует из «ы PDF .
Тем не менее, я ожидал бы, что будет почти равномерным, исключая артефакты из-за 4 остатков по краям:
Ниже приведены grafically расчетные функции плотности вероятности из и :
Теперь, если я позволю быть распределенными st то кажется равномерно распределенным:
Почему не является равномерным, когда и является равномерным, когда ?
Код Matlab, который я использовал:
number_of_points = 100000;
rng('shuffle')
a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);
for i=1:length(r(1,:))
x = r(:,i);
[theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));
end
figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1);
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');
subplot(M,N,2);
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');
subplot(M,N,3);
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');
Подстановка 3-й строки: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
с r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;
изменит распределение с нормального на равномерное.
Ответы:
Вы имеете в виду преобразование пары независимых переменных в полярное представление (радиус и угол), а затем смотрите на предельное распределение .(X,Y) (R,θ) θ
Я собираюсь предложить несколько интуитивное объяснение (хотя математический вывод плотности по существу делает то, что я описываю неформально).
Обратите внимание, что если вы масштабируете две переменные, X и Y по некоторой общей шкале (например, переходите от U (-1,1) к U (-10,10) или от N (0,1) до N (0,20) на обе переменные одновременно) это не имеет никакого значения для распределения угла (это влияет только на масштаб распределения радиуса). Итак, давайте просто рассмотрим единичные случаи.
Сначала рассмотрим, что происходит с единообразным делом. Обратите внимание, что распределение равномерно по единичному квадрату, так что плотность вероятности в области, которая содержится в пределах , пропорциональна площади области. В частности, посмотрите на плотность, связанную с элементом угла вблизи горизонтали (вблизи угла ) и диагонали (вблизи угла ):[−1,1]2 dθ θ=0 θ=π/4
Ясно, что элемент вероятности (т.е. площадь), соответствующий элементу угла ( ), больше, когда угол находится вблизи одной из диагоналей. Действительно подумайте надписать круг внутри квадрата; площадь, охватываемая заданным крошечным углом внутри круга, является постоянной, и затем часть вне круга увеличивается по мере приближения к диагонали, где она максимальна.dfθ dθ
Это полностью объясняет шаблон, который вы видите в симуляциях.
Действительно, мы можем видеть, что плотность должна быть пропорциональна длине отрезка от центра квадрата до его края; простой тригонометрии достаточно, чтобы получить плотность оттуда, и тогда легко найти постоянную, необходимую для интегрирования плотности в 1.
[Изменить: добавлен следующий бит для обсуждения радиуса, поскольку вопрос изменился с момента моего первоначального ответа.]
Обратите внимание, что если бы мы имели равномерное распределение по единичной окружности (то есть той, которую мы вписали в квадрат раньше), то плотность радиуса для этого была бы пропорциональна радиусу (рассмотрим площадь небольшого кольцевого элемента шириной при радиус - т.е. между и - имеет площадь, пропорциональную ). Затем, когда мы выходим за пределы круга, новые кольцевые области с большим радиусом получают вклады плотности только от части в квадрате, поэтому плотность уменьшается (сначала довольно быстро, затем медленнее) между и . (Опять же, достаточно простых геометрических понятий достаточно, чтобы получить функциональную форму плотности, если это необходимо.)dr r r r+dr r 1 2–√
Напротив, если совместное распределение является вращательно-симметричным относительно начала координат, тогда элемент вероятности под некоторым углом не зависит от угла (это по сути тавтология!). Бивариатное распределение двух независимых стандартных гауссианов вращательно-симметрично относительно начала координат:
(код этого изображения на основе кода Elan Коэна здесь , но есть хорошая альтернатива здесь , и что - то между ними здесь )
Следовательно, объем, содержащийся в некотором угле одинаков для каждого , поэтому плотность, связанная с этим углом, является постоянной на .dθ θ [0,2π)
[Полярный трюк, обычно используемый для интегрирования нормальной плотности по реальной линии, может быть использован для выяснения того, что плотность квадрата радиуса является отрицательной экспоненциальной, и отсюда плотность радиуса легко определить с помощью простого аргумента преобразования из функция распределения]
источник
Я отвечу на вопрос о нормальном случае, приводящем к равномерному распределению. Хорошо известно, что если и Y независимы и нормально распределены, контуры с постоянной плотностью вероятности представляют собой окружность в плоскости x - y . Радиус R = √X Y x−y имеетраспределение Рэлея. Для хорошего обсуждения этого в статье в Википедии под названием Рэли распределения.R=X2+Y2−−−−−−−√
Теперь давайте посмотрим на случайные величины и Y, используя полярные координаты.X Y
, Y = r sin ( θ ) . обратите внимание, что X 2 + Y 2 = r 2 . Если θ равномерно на ( 0 , 2 π ) и r имеет распределение Рэлея, то X и Y будут независимыми нормалями, каждая из которых имеетсреднее значение 0 и общую дисперсию. Обратное также верно. Доказательство обратного - это то, что, по моему мнению, ФП хочет получить как ответ на вторую часть вопроса.X=rcos(θ) Y=rsin(θ) X2+Y2=r2 θ (0,2π) r X Y 0
Вот набросок доказательства. Без ограничения общности можно предположить, что распределено N ( 0 , 1 ), а Y распределено N ( 0 , 1 ) и не зависит друг от друга.X N(0,1) Y N(0,1)
Тогда совместная плотность . Используйте преобразование в полярные координаты, чтобы получить g ( r , θ ) . Поскольку x = r sin ( θ ) и y = r cos ( θ ) . Так гf(x,y)=(1/2π)exp[(−[x2+y2])/2] g(r,θ) x=rsin(θ) y=rcos(θ) иθ=арктан(х/у). Вычислить якобиан преобразования и сделать соответствующую замену наf(x,y). в результатеg(r,θ)будетrexp[(-r2)/(2π)]дляr≥0и0≤θ≤r=x2+y2−−−−−−√ θ=arctan(x/y) f(x,y) g(r,θ) rexp[(−r2)/(2π)] r≥0 . Это показывает, что r и тета не зависят от r, имеющего распределение Рэлея, а тета имеет постоянную плотность 1 / ( 2 π ) .0≤θ≤2π r r 1/(2π)
источник
Чтобы завершить довольно хорошие ответы, данные Гленом и Майклом, я просто вычислю плотность когда распределение ( X , Y ) равномерно по квадрату [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] . Эта равномерная плотность равна 1θ (X,Y) [−1,1]×[−1,1] на этом квадрате,0 вдругом месте - то есть вероятность выборки точки в данной области квадрата равна114 0 площадь этого региона.14
Область интереса для нашего вопроса - красный сектор на этом рисунке:
Thus the density ofθ is
Verification:
источник