Как я могу доказать, что кумулятивная функция распределения непрерывна справа?

Из моих вероятностных курсов я узнал, что кумулятивная функция распределения случайной величины X непрерывна справа. Можно ли это доказать?$F$$X$

Чтобы доказать правильную непрерывность функции распределения, вы должны использовать непрерывность сверху $P$ , что вы, вероятно, доказали в одном из ваших вероятностных курсов.

Лемма. Если последовательность событий $\{A_n\}_{n\geq 1}$ уменьшается, в том смысле, что $A_n\supset A_{n+1}$ для каждого $n\geq 1$ , то $P(A_n)\downarrow P(A)$ , в котором $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$ .

Давайте использовать лемму. Функция распределения $F$ непрерывна справа в некоторой точке $a$ тогда и только тогда, когда для каждой убывающей последовательности вещественных чисел $\{x_n\}_{n\geq 1}$ такой, что $x_n\downarrow a$ имеем $F(x_n)\downarrow F(a)$ .

Определите события $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ , для $n\geq 1$ . Докажем, что

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

В одном направлении, если $X(\omega)\leq x_n$ для каждого $n\geq 1$ , так как $x_n\downarrow a$ , то $X(\omega)\leq a$ .

В другом направлении, если $X(\omega)\leq a$ , так как $a\leq x_n$ для каждого $n\geq 1$ , мы имеем $X(\omega)\leq x_n$ , для каждого $n\geq 1$ .

Используя лемму, результат следующим образом :

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$