Могут ли две случайные величины иметь одинаковое распределение, но почти наверняка различаться?

21

Возможно ли, что две случайные переменные имеют одинаковое распределение, и все же они почти наверняка различаются?

HornetsFan
источник

Ответы:

38

Пусть и определим . Нетрудно доказать, что .Y = - X Y N ( 0 , 1 )Икс~N(0,1)Yзнак равно-ИксY~N(0,1)

Но

п{ω:Икс(ω)знак равноY(ω)}знак равноп{ω:Икс(ω)знак равно0,Y(ω)знак равно0}п{ω:Икс(ω)знак равно0}знак равно0,

Следовательно, и различаются с вероятностью один.ИксY

Zen
источник
18
Этот же прием работает гораздо более широко и даже в тех случаях, которые могут «казаться» более простыми для человека, впервые столкнувшегося с предметом. Например, рассмотрим и где - случайная величина Бернулли, вероятность успеха которой равна . Икс1-ИксИкс1/2
кардинал
24

Любая пара независимых случайных величин и имеющих одинаковое непрерывное распределение, дает контрпример.ИксY

На самом деле, две случайные величины, имеющие одинаковое распределение, даже не обязательно определены в одном и том же вероятностном пространстве, поэтому вопрос вообще не имеет смысла.

Стефан Лоран
источник
3
(+1) Ваш второй пункт, в частности, является важным и, как только вы поймете, поможет выяснить различия в двух задействованных концепциях.
кардинал
-1

Икс(Икс)знак равноИксY(Икс)знак равно1-ИксИкс[0,1]F(Икс)знак равноИксе(Икс)знак равно1Икс+YИксзнак равно1

RRBaldino
источник
Добро пожаловать на наш сайт. Не могли бы вы уточнить, в каком смысле ваш пост отвечает на вопрос в этой теме и показать, чем он отличается от ответа, данного Дзен (и комментария @Cardinal к этому ответу )?
whuber