Какова вероятность розыгрыша четверки, если из колоды 52 взято 20 карт?

Вчера мы с соседями играли в карточные игры, и кто-то задал этот вопрос. Мы пытались решить проблему, но мы не могли понять это. Этим утром я проснулся и все еще не знаю, как это решить. Не могли бы вы помочь мне?

Существует 13 видов, поэтому мы можем решить проблему для одного вида, а затем двигаться дальше.

Тогда возникает вопрос: какова вероятность получения 4 успехов (например, королей) в 20 образцах из одного распределения 4 успехов (королей) и 48 неудач без замены?

Гипергеометрическое распределение (википедия) дает нам ответ на этот вопрос, и это 1,8%.

Если один из друзей делает ставку на получение 4 королей, а другой - на получение четырех ферзей, у них обоих есть шанс 1,8% на победу. Нам нужно знать, насколько перекрываются две ставки, чтобы сказать, какова вероятность того, что хотя бы одна из них выиграет.

Перекрытие обоих выигрышей аналогично первому вопросу, а именно: какова вероятность получения 8 успехов (королей и королев) в 20 выборках из распределения 8 успехов (королей и королев) и 44 неудач без замены?

Ответ снова гипеометрический, и по моим подсчетам это 0,017%.

Таким образом, вероятность выигрыша хотя бы одного из двух друзей составляет 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%.

Продолжая эту линию рассуждений, легкая часть суммирует вероятности для отдельных видов (13 * 1,8% = 23,4%), а сложная часть состоит в том, чтобы выяснить, насколько все эти 13 сценариев перекрываются.

Вероятность получения 4-х королей, 4-х ферзей или 4-х тузов - это сумма, полученная за каждую четверку, за вычетом их наложения. Перекрытие состоит из получения 4 королей и 4 ферзей (но не 4 тузов), получения 4 королей и 4 тузов (но не 4 ферзей), получения 4 королев и 4 тузов (но не 4 королей) и получения 4 королей и 4 королев. и 4 туза.

Вот где мне будет слишком сложно продолжать, но, продолжая этот путь с гипергеометрической формулой в Википедии, вы можете пойти дальше и написать все это.

Может быть, кто-нибудь может помочь нам уменьшить проблему?

$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ для$0\leq k\leq5.$

По принципу включения-исключения вероятность вытягивания хотя бы одной четверки, таким образом, равна

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Это может быть рассчитано численно, чтобы быть около$0.2197706.$

Вышеуказанная сумма имеет вид если впоследствии мы вычтем член , так как слагаемые для равны нулю. Интересно, есть ли способ упростить такую ​​сумму?$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$