От равномерного распределения к экспоненциальному распределению и наоборот

Вероятно , это тривиальный вопрос, но мой поиск был бесплодном до сих пор, в том числе этой статьи в Википедии , и «Compendium распределений» документ .

Если имеет равномерное распределение, означает ли это, что следует экспоненциальному распределению?e $X$$e^X$

Аналогично, если следует экспоненциальному распределению, означает ли это, что следует равномерному распределению?l n ( Y $Y$$ln(Y)$

Это не тот случай, когда возведение в степень равномерной случайной величины дает экспоненту, а взятие логарифма экспоненциальной случайной величины не дает униформы.

Пусть равномерно на ( 0 , 1 ) и X = exp ( U ) .$U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Итак, .$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Это не экспоненциальная переменная. Аналогичный расчет показывает, что лог экспоненты не является равномерным.

Пусть стандартная экспонента, поэтому F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$ .$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Пусть . Тогда F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$ .$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Это не униформа. ( На самом деле является Gumbel -distributed случайную величину, так что вы могли бы назвать распределение V а 'переворачивается Гамбель.)$-V$$V$

Однако в каждом случае мы можем увидеть это быстрее, просто рассматривая границы случайных величин. Если равномерно (0,1), оно лежит между 0 и 1, поэтому X = exp ( U ) лежит между 1 и e ... так что оно не экспоненциально. Аналогично, для Y экспоненты, пер Y на ( - ∞ , ∞ ) , так что не может быть однородным (0,1), и , действительно любой другой однородной.$U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

Мы также могли бы смоделировать и снова увидеть это сразу:

Во-первых, возведение в степень униформы -

[синяя кривая - плотность (1 / x на указанном интервале), которую мы разработали выше ...]

Во-вторых, журнал экспоненты:

Что мы можем видеть далеко не единообразно! (Если мы дифференцируем созданный ранее файл cdf, который дает плотность, он соответствует форме, которую мы видим здесь.)

Действительно, метод обратного cdf показывает, что взятие отрицательного числа логарифма равномерной (0,1) переменной дает стандартную экспоненциальную переменную, и наоборот, возведение в степень отрицательного значения стандартной экспоненты дает униформу. [Также смотрите вероятностное интегральное преобразование ]

Этот метод говорит нам, что если , Y = F - 1 ( U ) . Если применить обратное ВПР как преобразование на U , стандартной форме, в результате случайная величина имеет функцию распределения F Y .$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

Если мы допустим, что равномерно (0,1), то P ( U ≤ u ) = u . Пусть Y = - ln ( 1 - U ) . (Обратите внимание, что 1 - U также является равномерным на (0,1), так что вы могли бы на самом деле позволить Y = - ln U , но мы полностью следуем обратному методу cdf здесь)$U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

Тогда , что это cdf стандартной экспоненты.$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

Вы почти вернули его вперед. Ты спрашивал:

• "Если $X$ имеет равномерное распределение, означает ли это, что $e^X$ следует экспоненциальному распределению?

• «Точно так же, если $Y$ следует экспоненциальному распределению, означает ли это $\ln(Y)$ следует за равномерным распределением?

по факту

• если $X$ равномерно на $[0,1]$ тогда $-\log_e(X)$ follows an exponential distribution with parameter $1$
• if $Y$ follows an exponential distribution with parameter $1$ then $e^{-Y}$ has a uniform distribution on $[0,1]$.

More generally you could say:

• if $X$ is uniform on $[a,b]$ then $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$
• if $Y$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$ then $e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[0,1]$ while $a+(b-a)e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[a,b]$