Более простой способ найти

Рассмотрим 3 одинаковых выборки, взятых из равномерного распределения $u(\theta, 2\theta)$ , где $\theta$ - параметр. Я хочу найти

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ где $X_{(i)}$ - это статистика порядка $i$ .

Я ожидаю, что результатом будет Но единственный способ, которым я могу показать этот результат, кажется слишком длинным, я не могу найти простое решение, я что-то упустил, есть какой-то ярлык?

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$

---

Я делаю следующее:

• Я нахожу условную плотность

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• Я интегрирую

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

---

Подробности:

Я принимаю общую формулу для плотности статистики порядка (с индикатором множества A )$\mathbb{I}_{\{A\}}$$A$

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

получить для моего случая

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

маргинал равен$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

это

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

для этого

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

который дает

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$, КЭД.

---

$X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$